1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点29 数学归纳法解答题1. (2015江苏高考T23)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn,令f(n)表示集合Sn所含元素个数.来源:学科网ZXXK(1)写出f(6)的值.来源:学*科*网Z*X*X*K(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.【解题指南】(1)根据题意按a分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共13个.(2)由(1)
2、知,a=1,b=1,2,3,n;a=2,b=1,2,4,6,2k;a=3,b=1,3,6,9,3k(kN*).所以当n6时,f(n)的表达式要按23=6除的余数进行分类,然后利用数学归纳法进行证明.【解析】(1)f(6)=13.(2)当n6时,f(n)= (tN*)下面用数学归纳法证明:当n=6时,f(6)=6+2+=13,结论成立;假设n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情况讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+3=(k+1)+2+,结
3、论成立.2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立.来源:学科网ZXXK3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立.4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+，结论成立.5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立.6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立.来源:
4、Zxxk.Com综上所述,结论对n6的自然数n均成立.2. (2015北京高考理科T20)(13分) 已知数列 满足： ， 且 ，记集合。（1）若 ，写出集合M的所有元素；（2）若集合M存在一个元素是3的倍数。证明：M的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M的元素个数的最大值。来源:学#科#网【解题指南】(1)直接代入定义求解.(2)(3)可用归纳推理证明的方法求解.【解析】(1)a1=6,a2=12,a3=24,a4=224-36=12,所以M=6,12,24.(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由可归纳证明对任意nk,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都
5、是3的倍数.如果k1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数,类似可得ak-2,a1都是3的倍数,从而对任意n1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a136, 可归纳证明an36(n=2,3,).因为a1是正整数,a2= 所以a2是2的倍数,从而当n3时,an是4的倍数,如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数,因此当n3时,an12,24,36,这时M的元素个数不超过5,如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数,因此当n3时,an4,8,16,20,28,32,这时M的元素个数不超过8,当a1=1时,M=1,2,4,8,16,20,28,32有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.关闭Word文档返回原板块
