1、2016-2017学年江西省南昌市八一中学高三（下）2月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1若集合B=x|x0，且AB=A，则集合A可能是（）A1，2Bx|x1C1，0，1DR2已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i3设函数y=f（x），xR，“y=|f（x）|是偶函数”是“y=f（x）的图象关于原点对称”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4双曲线C：=1（a0，b0）的离心率e=，则它的渐近线方
2、程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x5齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）ABCD6如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）ABCD7已知M是ABC内的一点，且=2，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A20B18C16D98执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A7B9C10D119已知实数x，y满足：，若z=x+2y的最
3、小值为4，则实数a=（）A1B2C4D810已知函数f（x）=sinx+cosx（R）的图象关于x=对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=11已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（）ABCD12已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A（e，+）B（0，e）CD二、填空题：本大题共4小
4、题，每小题5分13设向量=（4，m），=（1，2），且，则|+2|=14若角满足sin+2cos=0，则sin2的值等于15已知直线y=ax与圆C：x2+y22ax2y+2=0交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为16已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和Sn=，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（n+1）4，求数列bn的前n项和18某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售
5、出的产品，每盒亏损30元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和中位数（四舍五入取整数）；（）将y表示为x的函数；（）根据直方图估计利润y不少于4800元的概率19如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边CD上，点F在边AB上，且DFAM，垂足为E，若将ADM沿AM折起，使点D位于D位置，连接DB，DC，得四棱锥DABCM（1）求证：平面DEF平面AMCB；（2）若DEF=
6、，直线DF与平面ABCM所成角的大小为，求几何体ADEF的体积20已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由21已知函数f（x）=+alnx（a0，aR）（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围请考生在第22题和第23题中任选一题作答，作答时请在答题卡
7、的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值2016-2017学年江西省南昌市八一中学高三（下）2月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一
8、、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1若集合B=x|x0，且AB=A，则集合A可能是（）A1，2Bx|x1C1，0，1DR【考点】子集与真子集【分析】集合B=x|x0，且AB=A，则故AB，进而可得答案【解答】解：集合B=x|x0，且AB=A，故AB，故A答案中1，2满足要求，故选：A2已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】把b代入方程，化简利用复数相等的条件，求a、b即可得到复数z【解答】解：把实根b，代入方程x2+
9、（4+i）x+4+ai=0，得方程b2+（4+i）b+4+ai=0所以b2+4b+4=0且b+a=0，所以b=2，a=2 所以z=22i故选A3设函数y=f（x），xR，“y=|f（x）|是偶函数”是“y=f（x）的图象关于原点对称”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】“y=f（x）的图象关于原点对称”，xR，可得y=|f（x）|是偶函数反之不成立，例如f（x）=x2【解答】解：“y=f（x）的图象关于原点对称”，xR，可得y=|f（x）|是偶函数反之不成立，例如f（x）=x2，满足y=|f（x）|是偶函数，x
10、R因此，“y=|f（x）|是偶函数”是“y=f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件故选：B4双曲线C：=1（a0，b0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线C：=1（a0，b0）的离心率e=，可得，可得=，双曲线的渐近线方程为：y=x故选：B5齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概
11、率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】根据题意，设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案【解答】解：设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其情况有：（a1，b1）、（a2，b2）、（a3，b3），齐王获胜；（a1，b1）、（a2，b3）、（a3，b2），齐王获胜；（a2，b1）、（a1，b2）、（a3，b3），齐王获胜；（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），田忌获胜；
12、（a3，b1）、（a1，b2）、（a2，b3），齐王获胜；（a3，b1）、（a1，b3）、（a2，b2），齐王获胜；共6种；其中田忌获胜的只有一种（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），则田忌获胜的概率为，故选：D6如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三视图的定义判断棱AD1和C1F的位置及是否被几何体遮挡住判断【解答】解：从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点故选B7已知M是ABC内的一
13、点，且=2，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A20B18C16D9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）（x+y），利用基本不等式求得+的最小值【解答】解：由已知得=bccosBAC=2bc=4，故SABC=x+y+=bcsinA=1x+y=，而+=2（+）（x+y）=2（5+）2（5+2）=18，故选B8执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A7B9C10D11【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i
14、，S的值，当S=lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B9已知实数x，y满足：，若z=x+2y的最小值为4，则实数a=（）A1B2C4D8【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=x+2y的最小值为4，即可确定a的值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=x+2y的最小值为4，x+2y=4，且平面区域在直线x+2y=4的上方，由图象可知当z=x+2y过x+3y+5=0与x+a=0的交点时，z取得最小值由，解得，即A（2，1），点A也在直线x+a=0上，则2+a=0，
15、解得a=2，故选：B10已知函数f（x）=sinx+cosx（R）的图象关于x=对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得函数g（x）的一条对称轴方程【解答】解：根据函数f（x）=sinx+cosx（R）的图象关于x=对称，可得，可得=1，所以把f（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象，再向右平移，得到函数g（x）=sin（x）=sin
16、（x）的图象，即g（x）=sin（），令 =k+，求得x=2k+，kZ，故函数g（x）的图象的对称轴方程为 x=2k+，kZ当k=0时，对称轴的方程为，故选：D11已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（）ABCD【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，正四面体的各棱长均为4，正四面体体积为=
17、，没有水的部分的体积是，设其棱长为a，则，a=2，设小球的半径为r，则4r=，r=，球的表面积S=故选：C12已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A（e，+）B（0，e）CD【考点】其他不等式的解法【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为f（lnx）f（1）即为f|lnx|）f（1），则|lnx|1，运用对数函数的单调性，即可得到解集【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f（x）=sinx+xcosxsinx+2x=x（2+cosx），则x0时，f（x）0，f（x）递增，且f（x）=xsinx+cos（x
18、）+（x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）f（1）即为f|lnx|）f（1），则|lnx|1，即1lnx1，解得，xe故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13设向量=（4，m），=（1，2），且，则|+2|=2【考点】向量的模【分析】由，可得=0，解得m再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出【解答】解：，=42m=0，解得m=2=（4，2）+2（1，2）=（6，2）|+2|=2故答案为：214若角满足sin+2cos=0，则sin2的值等于【考点】三角函数的化简求值【分析】根据sin+2cos=0求出tan的值，再把sin2化为切
19、函数，从而求出它的值【解答】解：sin+2cos=0，tan=2，sin2=2sincos=故答案为：15已知直线y=ax与圆C：x2+y22ax2y+2=0交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为6【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为Rsin60，再根据点到直线的距离公式列出方程，求出圆的半径即可【解答】解：圆C化为x2+y22ax2y+2=0，即（xa）2+（y1）2=a21，且圆心C（a，1），半径R=，直线y=ax和圆C相交，ABC为等边三角形，圆心C到直线axy=0的距离为Rsin60=，即d=，解得a2=7，圆C的面积为R2=
20、（71）=6故答案为：616已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4mm2m（m0），解之即可【解答】解：当m0时，函数f（x）=的图象如下：xm时，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4mm2m（m0），即m23m（m0），解得m3，m的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和Sn=，nN*（
21、1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（n+1）4，求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）当n2时，利用an=SnSn1，然后验证首项；（2）利用1的结论得到数列bn 通项公式，根据公式特点分别利用错位相减法和裂项求和【解答】解：（1）当n=1时，a1=s1=1；当n2时，an=SnSn1=因为a1=1也适合上式，因此，数列an的通项公式为an=； （2）由（1）知，an=，故bn=（n+1）4=（n+1）4=（n+1）2n+1（），记A=222+323+424+（n+1）2n+1，2A=223+324+n2n+1+（n+1）2n+2，两式相减得到A=222+23+
22、24+2n+1（n+1）2n+2=n2n+2，所以A=n2n+2，B=，数列bn的前n项和为Tn=18某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和中位数（四舍五入取整数）；（）将y表示为x的函数；（）根据直方图估计利润y不少于4800元的概率【考点】频率分布直方图；
23、古典概型及其概率计算公式【分析】（）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X的众数和中位数（）由已知条件推导出当100x160时，y=50x30=80x1800，当160x200时，y=16050=8000，由此能将Y表示为X的函数（）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率【解答】解：（ I）众数为150，中位数为153 4分（ II）每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，当100x160时，y=50x30=80x1800，当160x200时，y=16050=8000，y=8分（ III）由80x48004800得x120估计利润
24、y不少于4800元的概率 12分19如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边CD上，点F在边AB上，且DFAM，垂足为E，若将ADM沿AM折起，使点D位于D位置，连接DB，DC，得四棱锥DABCM（1）求证：平面DEF平面AMCB；（2）若DEF=，直线DF与平面ABCM所成角的大小为，求几何体ADEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由题意可知，AMDE，AMEF，利用线面垂直的判定可得AM平面DEF，进一步得到平面DEF平面AMCB；（2）过D作DHEF于H，由平面DEF平面AMCB，可得DH平面AMCB，得到DFE=，结合DEF=，可得DFE是
25、正三角形然后求解直角三角形可得DH，利用等积法求得几何体ADEF的体积【解答】（1）证明：AMDE，AMEF，且DEEF=E，AM平面DEF，AM平面AMCB，平面DEF平面AMCB；（2）解：过D作DHEF于H，平面DEF平面AMCB，DH平面AMCB，直线DF与平面ABCM所成角的大小为，DFE=，又DEF=，则DFE是正三角形AB=2BC=4，AD=DF=2，EF=，DH=，SAEF=1，则20已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N
26、时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）方法一、运用椭圆的定义，可得a，由a，b，c的关系，可得b=1，进而得到椭圆方程；方法二、运用A在椭圆上，代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，D为线段MN的中点，则D为线段PQ的中点，求得y4的范围，即
27、可判断【解答】解：（）方法一：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以2a=|AF1|+|AF2|=+=2，因此a=，b2=a2c2=1，故椭圆C的方程为+y2=1；方法二：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以c=1，a2b2=c2， +=1，解得a=，b=c=1，故椭圆C的方程为+y2=1；（）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由消去x，得9y22ty+t28=0，所以y1+y2=，且=4t236（t28）0故y0= 且3t3，由=，知四边形PMQN
28、为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，所以y0=，可得y4=，又3t3，可得y41，因此点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l21已知函数f（x）=+alnx（a0，aR）（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求函数f（x）的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在区间（0，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在
29、区间（0，e上的最小值小于0即可利用导数研究函数在闭区（0，e上的最小值，先求出导函数f（x），然后讨论研究函数在（0，e上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值【解答】解：（1）因为f（x）=+=，当a=1，f（x）=，令f（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+），f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小值所以x=1时，f（x）的极小值为1f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；（6分（2）f（x）=，（a0，aR）令f（x）=0，得到x=，若在区间0，e上存在一点x0，使得
30、f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e上的最小值小于0即可（i）当x=0，即a0时，f（x）0对x（0，+）成立，f（x）在区间（0，e上单调递减，故f（x）在区间（0，e上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a0，得a；（ii）当x=0，即a0时，若e，则f（x）0对x（0，e成立，f（x）在区间（0，e上单调递减，f（x）在区间（0，e上的最小值为f（e）=+alne=+a0，显然，f（x）在区间（0，e上的最小值小于0不成立若1e，即a时，则有x（0，）（，e）f（x）0+f（x）极小值f（x）在区间0，e上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1l
31、na）0，得1lna0，解得ae，即a（e，+）综上，由（1）（2）可知：a（，）（e，+）请考生在第22题和第23题中任选一题作答，作答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（
32、2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1t2|，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围【解答】解：（1）cos=x，sin=y，2=x2+y2，曲线C的极坐标方程是=4cos可化为：2=4cos，x2+y2=4x，（x2）2+y2=4（2）将代入圆的方程（x2）2+y2=4得：（tcos1）2+（tsin）2=4，化简得t22tcos3=0设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，|AB|=|t1t2|=，|AB|=，=cos0，），或直线
33、的倾斜角或选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当a=时，根据f（x）= 的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3lne=1，不等式得证（）由绝对值三角不等式可得 f（x）|a|，可得|a|a，由此解得a的范围【解答】解：（）证明：当a=时，f（x）=|x|+|x+|= 的最小值为3，lnf（x）最小值为ln3lne=1，lnf（x）1成立（）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x|+|xa|（x）（xa）|=|a|，再由不等式f（x）a在R上恒成立，可得|a|a，aa，或 aa，解得a，故a的最大值为2017年4月27日
