1、1 数据链接 真题试做 2 数据聚焦 考点梳理 a3 数据剖析 题型突破 第14讲 二次函数的图象和性质 目 录 数据链接 真题试做 命题点 1 二次函数的图象与性质 命题点 2 确定二次函数的解析式 命题点 3 二次函数图象的变换 二次函数的图象与性质 命题点1返回子目录 数据链接 真题试做 1 1.(2020河北,15)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.C下列判断正确的是()A.乙错,丙对B.甲和乙都错C.乙对,丙错D.甲错,
2、丙对返回子目录 2.(2010河北,11)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)D返回子目录 3.(2012河北,12)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:无论x取何值,y2的值总是正数;a=1;当x=0时,y2-y1=4;2AB=3AC.其中正确的结论是()A.B.C.D.D返回子目录 4.(2015 河 北,25)如 图,已 知 点
3、 O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛 物 线 l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1x20,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是14时,求h的值.返回子目录 解:(1)把点B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得-(2-h)2+1=1,解得h=2,抛物线的解析式是y=-(x-2)2+1,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,1).(2)在y=-(x-h)2+1中,令x=0,
4、解得y=-h2+1,即yC=-h2+1,-h2+11,yC的最大值是1.此时点C的坐标是(0,1),把点C(0,1)代入y=-(x-h)2+1,得h=0,则函数的解析式是y=-x2+1,对称轴是y轴,开口向下,则当x1x20时,y10a0返回子目录 对称轴直线x=顶点坐标 增减性在对称轴的左侧,即当x-时,y随x的增大而增大,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-时,y随x的增大而减小,简记为“左增右减”最值抛物线有最低点,且当 时,y有最小值,y最小值=抛物线有最高点,且当x=-时,y有最大值,y最大值=-,x=-续表 返回子目录【易错提示】二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有
5、相同的增减性,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取值时,要依据其增减性而定.2.系数a,b,c与二次函数图象的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上|a|越大,开口越小a0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与x轴有 公共点b2-4ac0,即x=1时,y0若a-b+c0,即x=-1时,y0续表 原点 两个不同的 没有 二次函数图象的平移 考点3返回子目录 1.平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可.2.平移规律 移动方向平移前的解析式平移后的解
6、析式规律向左平移m个单位长度(m0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h+m)2+k左加向右平移m个单位长度(m0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k右减返回子目录 续表 移动方向平移前的解析式平移后的解析式规律向上平移m个单位长度(m0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k+m上加向下平移m个单位长度(m0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k-m下减口诀:左加右减、上加下减 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点4返回子目录 二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根当b2-4ac0
7、时,抛物线与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根当b2-4ac0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围不等式ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围续表【规律总结】求二次函数图象与x轴的交点的方法:令y=0,解关于x的方程,最后把所得的数值写成坐标的形式.求二次函数图象与y轴交点的方法:令x=0,求出y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.数据剖析 题型突破 考向 1 二次函数的图象及性质 考向 2
8、二次函数解析式的确定 考向 3 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象及性质（5年考2次）考向1返回子目录 数据剖析 题型突破 3 1.(2021秦皇岛模拟)如图,若a0,c0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为()A.0B.-1C.1D.23.(2021河北模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.下列结论:abc0;2a+b0;3a+c0,其中正确的结论个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个AB返回子目录 4.(2021河北模拟)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,0),抛物线y=a(
9、x-h)2+k过点C,顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上.若抛物线与线段AB无公共点,则k的取值范围是()A.0k2B.0kC.k D.0k B返回子目录-1x35.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分对应值如下表:x-3-2-1012y-12-50343利用二次函数的图象可知,当函数值y0时,x的取值范围是 .6.(2021河北预测)如图,一段抛物线y=-x2+4x(0 x4),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180得C3,交x轴于点A3如此进行下去,直至得抛物线C2 021,若点P(m,3)在第2 021段
10、抛物线C2 021上,则m=.返回子目录 8 081或8 083返回子目录 抛物线的开口方向取决于a的符号;抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k);对称轴为直线x=h;增减性既要考虑开口方向,又要考虑是在对称轴的左边还是右边.二次函数解析式的确定（5年考1次）考向2返回子目录 1.(2021邯郸模拟)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+1C2.(2021河北预测)求经过A(1,4),B(-2,1)两点,对称轴为x=-1的抛物线的解析
11、式是.y=x2+2x+1返回子目录 3.(2021唐山模拟)如图,在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.返回子目录 解:(1)二次函数图象的顶点为A(1,-4),设二次函数解析式为y=a(x-1)2-4,把点B(3,0)代入二次函数解析式,得0=4a-4,解得a=1,二次函数解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.(2)令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,二次函数图象与x轴的两
12、个交点坐标为(3,0)和(-1,0),二次函数图象向右平移1个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点.故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).返回子目录 D4.(2021河北模拟)如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求ABC的面积.返回子目录 解:(1)把A(2,0),B(0,-6)代入y=-x2+bx+c,得 +=,=,解得 =,=,这个二次函数的解析式为y=-x2+4x-6.(2)该抛物线对称轴为直线x=-=4,点C的坐标为(4,0),AC=OC-OA
13、=4-2=2,SABC=ACOB=26=6.返回子目录 5.(2021邯郸模拟)已知二次函数的图象经过点(0,-2),且当x=1时函数有最小值-3.(1)求这个二次函数的解析式;(2)如果点(-2,y1),(1,y2)和(3,y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小.解:(1)由题意知:抛物线的顶点坐标为(1,-3),设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3,由于抛物线过点(0,-2),则有a(0-1)2-3=-2,解得a=1,因此抛物线的解析式为y=(x-1)2-3.返回子目录(2)a=10,故抛物线的开口向上.抛物线的对称轴为x=1,(1,y2)为抛物线的顶点坐标,y2最小.
14、由于(-2,y1)和(4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(4,y1)和(3,y3)来比较y1,y3的大小,在y轴的右侧是增函数,y1y3.于是y2y3y1.求二次函数的解析式通常使用待定系数法,即首先根据题设条件,设出二次函数表达式,然后将条件代入所设表达式,列出方程(组),最后解这个方程(组),求出系数.二次函数与一元二次方程的关系（5年考0次）考向3返回子目录 1.(2021河北预测)如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值:x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04根据表中数据判断,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是()A
15、.6x6.17B.6.17x6.18C.6.18x6.19D.6.19x6.20C返回子目录 2.(2021河北模拟)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a,x2=b(ab),则二次函数y=x2+mx+n中,当y0时,x的取值范围是()A.xbC.axbD.xb3.(2021河北模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)和(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0nm)有两个整数根,这两个整数根是()A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或4CB返回子目录
16、 4.(2021唐山模拟)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交 点 坐 标 分 别 为 A(-2,4),B(1,1),则 方 程 ax2=bx+c 的 解是 .5.(2021邯郸模拟)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解是 .x1=1,x2=-2x1=1,x2=-3返回子目录 抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解.这里要注意两点:一是抛物线与x轴的交点的横坐标与方程解的联系,二是与一元二次方程的这两个解对应的抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称.在已知抛物线的对称轴和其中一个交点的坐标时,根据对称性,可以便捷地求出另一个交点的坐标.返回子目录 抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解.这里要注意两点:一是抛物线与x轴的交点的横坐标与方程解的联系,二是与一元二次方程的这两个解对应的抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称.在已知抛物线的对称轴和其中一个交点的坐标时,根据对称性,可以便捷地求出另一个交点的坐标.
