1、21.2 离散型随机变量的分布列(二)内 容 标 准学 科 素 养1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法作用2.理解两点分布和超几何分布.利用数学抽象提升数学建模和数学运算授课提示：对应学生用书第 29 页基础认识知识点一 两点分布预习教材P47，思考并完成以下问题在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于 1 000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y0，寿命1 000小时；1，寿命1 000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量 Y 的构造更简单，它只取两个不同的值 0 和 1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易2
2、00 件产品中，有 190 件合格品、10 件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定 X1 取得不合格品0 取得合格品求 X 的分布列提示：P(X1)10200 120，P(X0)1902001920，X 的分布列为：X10P1201920像这样随机变量的值只有 0 和 1 的分布称为两点分布 知识梳理 两点分布随机变量 X 的分布列为：X01P1pp若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 pP(X1)为成功概率思考：两点分布中，随机变量的值域是什么？分布列 P(X2)0.4，P(X3)0.6 是否为两点分布提示：0,1 不是两点分布知识点二 超几何分布预习教材P4
3、8，思考并完成以下问题在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，求：取到的次品数 X 的分布列解析：X 的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)C395C3100，P(X1)C295C15C3100，P(X2)C195C25C3100，P(X3)C35C3100.因此 X 的分布列为：X0123PC395C3100C295C15C3100C195C25C3100C35C3100在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,1,2，m，MN，nN，N，m、nN*.知识梳理 超几何分布一般地，在含有 M 件次品的 N
4、 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*，则称分布列X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 对超几何分布的三点说明(1)超几何分布的模型是不放回抽样(2)超几何分布中的参数是 M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成自我检测1设袋中有 80 个红球、20 个白球，若从袋中任取
5、10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为()A.C480C610C10100 B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C10100答案：D2设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 去表示 1 次试验的成功次数，则P(0)等于()A0B.12C.13D.23答案：C授课提示：对应学生用书第 30 页探究一 两点分布 阅读教材 P47 例 1在掷一枚图钉的随机试验中，令 X1，针尖向上；0，针尖向下.如果针尖向上的概率为 p，试写出随机变量 X 的分布列题型：两点分布方法步骤：(1)写出 X 的取值 0,1；(2)写出 X 取各个值时的概率；
6、(3)列出分布列例 1 一个袋中装有除颜色外其他都相同的 3 个白球和 4 个红球(1)从中任意摸出 1 个球，用 0 表示摸出白球，用 1 表示摸出红球，即 X0，摸出白球，1，摸出红球.求 X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用 X0 表示“两个球全是白球”，用 X1 表示“两个球不全是白球”，求 X 的分布列解析(1)由题意知 P(X0)37，P(X1)47，所以 X 的分布列为：X01P3747(2)由题意知 P(X0)C23C2717，P(X1)1P(X0)67，所以 X 的分布列为：X01P1767方法技巧 两点分布的两个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的
7、(2)由对立事件的概率求法可知：P(X0)P(X1)1.跟踪探究 1.随机变量 服从两点分布，且 P(1)0.8，32，则 P(2)_.解析：当 2 时，0，所以 P(2)P(0)1P(1)0.2.答案：0.2探究二 超几何分布 阅读教材 P50 习题 2.1 A 组 6 题改编学校要从 30 名候选人中选 10 名同学组成学生会，其中某班有 4 名候选人假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班被选到的人数 X 的分布列解析：X 的取值为 0,1,2,3,4.P(X0)C1026C1030，P(X1)C926C14C1030，P(X2)C826C24C1030，P(X3)C726C34C10
8、30，P(X4)C44C1030.X 的分布列为：X01234PC426C1030C326C14C1030C226C24C1030C126C34C1030C44C1030例 2 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红球有 3 个，编号为 1,2,3；黑球有 2 个，编号为 1,2；白球有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球(1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率(2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列解析(1)从袋中一次随机抽取 3 个球，基本事件总数 nC3620，取出的 3 个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为 C13C12C
9、116，所以取出的 3 个球的颜色都不相同的概率 P620 310.(2)由题意知 X0,1,2,3.P(X0)C33C36 120，P(X1)C13C23C36 920，P(X2)C23C13C36 920，P(X3)C33C36 120.所以 X 的分布列为：X0123P120920920120方法技巧 求解超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布(2)在超几何分布公式中 P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,1,2，m，其中 mminM，n这里 N 是产品总数，M 是产品中次品数，n 是抽样的样品数(3)如果随机变量 X 服从
10、超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量 X 的所有取值(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示延伸探究 1.在例 2 的条件下，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量 的分布列解析：由题意 0,1，服从两点分布，又 P(1)C25C3612，所以 的分布列为：01P12122.将例 2 的条件“一次随机抽取 3 个球”改为“有放回地抽取 3 次球，每次抽取 1 个球”其他条件不变，结果又如何？解析：(1)取出 3 个球颜色都不相同的概率 PC13C12C11A336316.(2)由题意知 X0,1,2,3.P(X0)336318，P(X1)C13333633
11、8，P(X2)C23C13336338，P(X3)336318.所以 X 的分布列为：X0123P18383818跟踪探究 2.某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列解析：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有 6 人代表队中的学
12、生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36 1100.因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 1100 99100.(2)根据题意，知 X 的所有可能取值为 1,2,3.P(X1)C13C33C46 15，P(X2)C23C23C46 35，P(X3)C33C13C46 15.所以 X 的分布列为：X123P153515探究三 分布列的综合应用阅读教材 P48 例 3在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜色外完全相同一次从中摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球就中奖，求中奖
13、的概率题型：超几何分布中某事件的概率方法步骤：(1)设摸出红球个数为 x，则 x 服从超几何分布；(2)由中奖规则知中奖概率就是 x3 时的概率，从得求出 P(X3)P(X4)P(X5)即可例 3 袋中装有标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球用 X 表示取出的 3 个小球的最大数字(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量 X 的概率分布列解析(1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)C35C12C12C12C31023.(2)由题意，X 所有可能的取值是 2,3,4,5.P(X2)C22C12C12C22
14、C310 130，P(X3)C24C12C14C22C310 215，P(X4)C26C12C16C22C310 310，P(X5)C28C12C18C22C310 815.所以随机变量 X 的概率分布列为：X2345P130215310815方法技巧 1.在求某些比较难计算的事件的概率时，我们可以先求随机变量取其他值时的概率，再根据概率之和为 1 的性质即可解决问题2在解决含有“至少”“至多”的问题时，利用对立事件进行求解不失为一种好方法跟踪探究 3.某人有 5 把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试若不能开门，则把钥匙扔到一边，记
15、打开门时试开门的次数为，试求 的分布列，并求他至多试开 3 次的概率解析：的所有可能取值为 1,2,3,4,5.P(1)C11C1515，P(2)C14C11C15C1415，P(3)C14C13C11C15C14C1315，P(4)C14C13C12C11C15C14C13C1215，P(5)C14C13C12C11C11C15C14C13C12C1115.因此 的分布列为：12345P1515151515由分布列知 P(3)P(1)P(2)P(3)15151535.授课提示：对应学生用书第 31 页课后小结(1)两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注
16、意成功概率的值指的是哪一个量(2)超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道 N，M 和 n就可以根据公式：P(Xk)CkMCnkNMCnN求出 X 取不同值 k 时的概率素养培优 1.随机变量的取值不正确致误从 4 张编号 1,2,3,4 的卡片中任意取出两张，若 表示这两张卡片之和，请写出 的分布列易错分析：审题不仔细得出 的取值为 2,3,4,5,6,7,8 致误考查数据分析和数学运算的学科素养自我纠正：的取值为 3,4,5,6,7.P(3)1C2416，P(4)1C2416，P(5)2C2413，P(6)1C2416，P(7)1C2416.的分布列为：34567
17、P16161316162.忽视分布列中各随机变量的概率之和为 1 致错如图，从 A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3个点与原点在同一个平面内，那么此时“立体”的体积 V0)(1)求 V0 的概率；(2)求 V 的分布列易错分析：求分布列时忽视了各随机变量的概率之和为 1 致错考查数学运算自我纠正：(1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C3620 种取法，选取的 3 个点与原点在同一个平面内的取法有 C13C3412(种)，因此 V0 的概率为 P(V0)122035.(2)V 的所有可能取值为 0，16，13，23，43，因此 V 的分布列为：V016132343P35120320320120
