1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十)空间点、直线、平面之间的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.给出下列说法:梯形的四个顶点共面;三条平行直线共面;有三个公共点的两个平面重合;三条直线两两相交,可以确定3个平面.其中正确的序号是()A.B.C.D.【解析】选A.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以不正确;
2、三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以不正确.2.(2015合肥模拟)已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且ABC=BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()A.ABCDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.ABCD或AB与CD异面或AB与CD相交【解题提示】分三条线段共面和不共面两种情况讨论.【解析】选D.若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.3.如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.
3、点C和点M【解析】选D.因为AB,MAB,所以M.又=l,Ml,所以M,由公理3知,M在与的交线上.同理可知,点C也在与的交线上.4.(2015广州模拟)已知A,B是两个不同的点,m,n是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则m,AmA;mn=A,A,BmB;m,n,mn;m,m.其中真命题为()A.B.C.D.【解析】选C.根据平面的性质,可知正确,中不能确定B,中与可能平行,也可能相交,中根据面面垂直判定定理可知正确,故为真命题,故选C.5.如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为()A.相交B.平行C.异面D.重合【解析】选C.
4、将表面展开图折起还原为正方体,如图,故MN与PB异面.【误区警示】本题由展开图还原为几何体时易出错,原因是空间想象能力不强,可固定其中一个面,翻折其他面得到.【加固训练】将正方体纸盒展开如图所示,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交成60角D.异面且成60角【解析】选D.折起后如图,显然AB与CD异面,因为AMCD,AMB为正三角形,所以MAB=60.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015天津模拟)设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:设ab,bc,则ac;若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;若a和b相交,b和c相交,则
5、a和c也相交;若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.【解析】因为ab,bc,所以a与c可能相交,平行,异面,故错;因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面,相交,平行,故错;由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面,相交,平行,故错;同理错,故真命题的个数为0.答案:07.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.【解题提示】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,利用圆柱的轴截面ABB1A
6、1是正方形,可得C1D=AD,从而可得结论.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案:8.(2015昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有对.【解析】正方体如图,若要
7、出现所成角为60的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是AB,BC,AD,CD,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有=24对(每一对被计算两次,所以记好要除以2).答案:24三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DFFC=DHHA=23.求证:EF,GH,BD交于一点.【证明】连接GE,FH.因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GEAC,且GE=AC.又因为DFFC=DHHA=23,所以FHAC,且FH=AC.所以FHGE,且GEFH.所以
8、E,F,H,G四点共面.且四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF,GH,BD交于一点.【加固训练】如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AEEB=CFFB=21,CGGD=31,过E,F,G的平面交AD于点H.(1)求AHHD.(2)求证:EH,FG,BD三线共点.【解析】(1)因为=2,所以EFAC,所以EF平面ACD,而EF平面EFGH,平面EFGH平面ACD=GH,
9、所以EFGH,所以ACGH,所以=3,所以AHHD=31.(2)因为EFGH,且=,=,所以EFGH,所以四边形EFGH为梯形.令EHFG=P,则PEH,而EH平面ABD,又PFG,FG平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,所以PBD,所以EH,FG,BD三线共点.10.已知在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别为BC,AD上的点,并且BEEC=AFFD=12,EF=,求AB与CD所成的角的大小.【解析】取BD上一点H,使得BHHD=12.连接FH,EH,由题意知FHAB,EHCD,则EHF为异面直线AB与CD所成的角(或其补角).又AFFD=BHHD=BEEC=12,所以FH=
10、AB=2,HE=CD=1.在EFH中,由余弦定理知:cosEHF=-,即异面直线AB与CD所成的角为60.【误区警示】本题易忽视异面直线所成角的取值范围（0,.在解答过程中易误认为EHF即为异面直线AB与CD所成的角.实际上,当EHF为锐角或直角时,为两条异面直线AB与CD所成的角;而当EHF为钝角时,它为异面直线AB与CD所成角的补角.(20分钟40分)1.(5分)(2015天津模拟)如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA平面ABCD,PA=AB,则PB与AC所成角是()A.90B.45C.60D.30【解析】选C.过点B作BECA,连接AE,PE,由已知PAB及BAE和PAE均为全
11、等的等腰直角三角形,因此PBE为等边三角形,所以PB与AC所成的角为60.【加固训练】(2014太原模拟)对于直线m,n和平面,下列命题中的真命题是()A.如果m,n,m,n是异面直线,那么nB.如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交C.如果m,n,m,n共面,那么mnD.如果m,n,m,n共面,那么m与n相交【解析】选C.对于选项A,n可以与平面相交,对于选项B,n可以与平面平行,故选项A、B均错;由于m,n,则m,n无公共点.又m,n共面,所以mn,选项C正确,选项D错.2.(5分)(2015温州模拟)如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的是()
12、【解析】选D.A中PSQR,故共面;B中PS与QR相交,故共面;C中四边形PQRS是平行四边形,故共面.3.(5分)(2015开封模拟)已知点E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A.0条B.1条C.2条D.无数条【解析】选D.与平面ABCD平行,而且与线段D1E,C1F分别相交于M,N的平面有无数多,所以直线MN有无数条.4.(12分)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=60,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线.(2)求异面直线A
13、E和PB所成角的余弦值.(3)求三棱锥A-EBC的体积.【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为.因为A,B,E,所以平面即为平面ABE,所以P平面ABE,这与P平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EFPB,所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角.因为BAC=60,PA=AB=AC=2,PA平面ABC,所以AF=,AE=,EF=,cosAEF=,所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(3)因为E是PC的中点,所以点E到平面ABC的距离为PA=1,VA-EBC=VE-ABC=1=.【加固训练】在四棱锥P -ABCD中,底面是边长为2的菱
14、形,DAB=60,对角线AC与BD交于点O,PO平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积.(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.【解析】(1)在四棱锥P -ABCD中,因为PO平面ABCD,所以PBO是PB与平面ABCD所成的角,即PBO=60.在RtPOB中,因为BO=ABsin30=1,又POOB,所以PO=BOtan60=,因为底面菱形的面积S菱形ABCD=2.所以四棱锥P -ABCD的体积VP -ABCD=2=2.(2)取AB的中点F,连接EF,DF,因为E为PB中点,所以EFPA.所以DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).在RtA
15、OB中,AO=ABcos30=OP,所以在RtPOA中,PA=,所以EF=.因为四边形ABCD为菱形,且DAB=60,所以ABD为正三角形.又因为PBO=60,BO=1,所以PB=2,所以PB=PD=BD,即PBD为正三角形,所以DF=DE=,所以cosDEF=.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.5.(13分)(2014湖南高考)如图所示,已知二面角-MN-的大小为60,菱形ABCD在平面内,A,B两点在棱MN上,BAD=60,E是AB的中点,DO平面,垂足为O.(1)证明:AB平面ODE.(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明.(2)根据二
16、面角的平面角的定义及线线角的定义求解.【解析】(1)如图,因为DO平面,AB平面,所以DOAB,连接BD,由题设知,ABD是正三角形,又E是AB的中点,所以DEAB,又DODE=D,故AB平面ODE.(2)因为BCAD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即ADO是BC与OD所成的角(或其补角).由(1)知,AB平面ODE,所以ABOE,又DEAB,于是DEO是二面角-MN-的平面角,从而DEO=60,不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=,在RtDOE中,DO=DEsin60=,连接AO,在RtAOD中,cosADO=,故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤(1)作:通过作平行线得到相交直线.(2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角.(3)算:通过解三角形求出角.关闭Word文档返回原板块
