1、第一章 三角函数14 三角函数的图象与性质14.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)内 容 标 准学 科 素 养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义2.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期3.掌握函数 ysin x，ycos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.应用直观想象发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性阅读教材 P3435，思考并完成以下问题三角函数的正弦值、余弦值的“周而复始”体现了什么性质(1)由诱导公式一：sin(x2k)sin x，cos(x2k)cosx(
2、xR)都适合函数的特征：f(xT)f(x)，这是什么函数？提示：周期函数(2)函数 ysin x 及 ycos x(xR)的周期是多少？提示：周期是 2k(kZ 且 k0)知识梳理(1)函数的周期性对于函数 f(x)，如果存在一个_，使得当 x 取定义域内的_值时，都有_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，_叫做这个函数的周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个最小正数叫做f(x)的_(2)ysin x 与 ycos x 都是_函数，_都是它们的周期，且它们的最小正周期都是_非零常数T每一个f(xT)f(x)非零常数T最小正数最小正周期周期2k(k0，kZ)2 知识点二 正
3、弦函数、余弦函数的奇偶性(阅读教材 P3637，思考并完成以下问题正弦函数、余弦函数图象有哪些对称性？(1)ysin x(xR)的图象关于(0，0)对称吗？为什么？提示：对称：由 sin(x)sin x 可知，若(x，y)是 ysin x 上的点，则(x，y)也是图象上的点(2)由 cos(x)cos x(xR)可看出 ycos x 有什么对称性提示：关于 y 轴对称知识梳理(1)对于 ysin x，xR 恒有 sin(x)sin x，所以正弦函数 ysin x是_函数，正弦曲线关于_对称(2)对于 ycos x，xR，恒有 cos(x)cos x，所以余弦函数 ycos x 是_函数，余弦曲
4、线关于_对称(3)ysin x(xR)的对称中心坐标为_，也是轴对称图形，对称轴为_(4)ycos x(xR)的对称轴为_，对称中心坐标为_.奇(0，0)偶y轴(k，0)kZ x2k(kZ)xk(kZ)2k，0 kZ自我检测1函数 f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案：A2函数 ysin x2 的最小正周期为_答案：2探究一 求三角函数的周期教材 P35 例 2方法步骤：利用周期定义和诱导公式求解角度 1 三角函数的周期性例 1 求下列函数的周期(1)y2sin3x6(xR)；(2)y|sin 2x|(xR)解析(1)法一：令 u3x6，x
5、R，uR.函数 y2sin u 的最小正周期是 2，就是说变量 u 至少要增加到 u2，函数 y2sin u(uR)的值才能重复取得而 u23x623x23 6，所以自变量 x 至少要增加到 x23，函数的值才能重复取得，从而函数 y2sin3x6(xR)的周期为23.法二：利用公式可知，函数 y2sin3x6(xR)的周期 T2|23.(2)作出 y|sin 2x|(xR)的图象，如图所示：由图象可得，函数 y|sin 2x|(xR)的周期为2.方法技巧 求三角函数的周期的方法(1)定义法：对于定义域内每一个 x 是否存在非零常数 T，使 f(xT)f(x)，若存在，则 T 是它的一个周期(
6、2)公式法：形如 yAsin(x)和 yAcos(x)(其中 A，为常数，且 A0)的函数的周期 T2|；正切型函数 yAtan(x)，(其中 A0，0，xk2(kZ)的周期 T|.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直接判断延伸探究 1.将本例(1)变为：求函数 ysin2x3 的最小正周期解析：令 z2x3，因为 xR，所以 zR.函数 f(x)sin z 的最小正周期是 2，即变量 z 只要且至少要增加到 z2，函数 f(x)sin z(zR)的值才能重复取得而 z22x322(x)3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x，函数值才能重复取得，所以函数 f(x)sin2x3(xR)的
7、最小正周期是.2将本例(2)改为：求函数 y|1sin x|的最小正周期解析：y|1sin x|1sin x，T2.角度 2 三角函数周期性的应用例2(1)已知函数f(x)cos3x，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值为_解析 f(1)cos312，f(2)cos23 12，f(3)cos 1，f(4)cos43 12，f(5)cos53 12，f(6)cos 21，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0.同理可得，每连续六项的和均为 0，即周期为 6.f(1)f(2)f(3)f(2 019)3360f(1)f(2)f(3)121211.答案 1(2)已知函数 f(x)
8、cos3x，则满足 f(x)12的 x 的集合为_解析 设 t3x，当 t0，2)时，cos t12，t3或 t53.3x3，x1，3x53，x5f(x)的周期为 6.x16k 或 x56k，kZ，即所求的集合为x|x16k 或 x56k，kZ答案 x|x16k 或 x56k，kZ方法技巧 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值延伸探究 3.若将本例(1)的函数改为 f(x)sin2x6，则 f(1)f(2)f(3)f(2 019)_解析：f(1)sin26 cos6，f(2)sin6 sin6，f(3)sin326 cos6，f(4)si
9、n26 sin6，f(1)f(2)f(3)f(4)0，f(x)的周期 T4.f(1)f(2)f(2 019)504(f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(3)sin612.答案：124若将本例(2)改为：求使 cos3x1 的 x 的集合为_解析：使 cos3x1，有3x0，x0.x|x6k，kZ答案：x|x6k，kZ探究二 三角函数的奇偶性例 3 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos322x x2sin x；(2)f(x)12cos x 2cos x1.解析(1)f(x)sin 2xx2sin x，xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf
10、(x)，f(x)是奇函数(2)由12cos x0，2cos x10，得 cos x12.f(x)0，x2k3，kZ.f(x)既是奇函数又是偶函数方法技巧 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看 f(x)与 f(x)的关系对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断跟踪探究 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin12x2；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)解析：(1)显然 xR，f(x)cos12x，f(x)cos12x cos12xf(x)，f(x)是偶函数(2)由1sin x0，1sin x0，得1
11、sin x1.解得定义域为xxR且xk2，kZ.f(x)的定义域关于原点对称又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)，f(x)为奇函数探究三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例 4(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是()Aycos|2x|By|sin x|Cysin22xDycos32 2x答案 D(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是，且当 x0，2 时，f(x)sin x，求 f53 的值解析 f(x)的最小正周期是，f53
12、f53 2 f3.又f(x)是 R 上的偶函数，f3 f3 sin3 32.f53 32.方法技巧 三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使更全面的研究函数图象特征延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？解析：f53 f53 f23 f23 f3 f3 sin3 32.(2)若将本例 3(2)条件不变，求 f2 0193 f2 0203 的值解析：T，f2 0193 f(0)sin 00，f2 0203 f6733 f3 sin3 32.f2 0193 f2 0203 32.课后小结1对于周期的理解(1)定义是对定义域中的
13、每一个 x 值来说的，只要有个别的 x 值不满足 f(xT)f(x)，就不能说 T 是 f(x)的周期(2)从等式 f(xT)f(x)来看，应强调的是自变量 x 本身加的常数才是周期，如 f(2xT)f(2x)，T 不是周期，而应写成 f(2xT)f2xT2 f(2x)，则T2是 f(2x)的周期(3)并不是所有周期函数都存在最小正周期例如，常数函数 f(x)C(C 为常数)，xR，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C，即对于函数 f(x)的定义域内的每一个值 x，都有 f(xT)C，因此 f(x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小数，故 f(x)没有最
14、小正周期(4)周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(kN*)一定也是周期(5)在周期函数 yf(x)中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 xkT(kZ，且 k0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集2判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看 f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性素养培优1判定奇偶性，忽略定义域典例 函数 f(x)sin x（1sin x）1sin x是()A奇函数 B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数易错分析 不考虑定义域，错选为 A.自我纠正解析 由
15、 1sin x0 可知 sin x1，x2k2(kZ)，定义域不关于(0，0)对称，为非奇非偶函数答案 D2忽略最小正周期的定义典例 函数 ysinax4 的最小正周期是23，则 a_易错分析 对最小正周期理解错，只求出 a3.自我纠正 解析 由2|a|23，|a|3，a3.答案 33画错图象导致周期求错典例 下列函数中不是周期函数的是_ysin2x3；ycos12x1；ysin|x|；ysin xcos x.易错分析 此题易错为：不考虑周期定义或画图象不准确，而判断错，错选为.自我纠正 解析，是周期函数，周期分别为，4.是周期函数，周期为 2.不是周期函数，由图象知，(，)与(，3)的图象重复答案 课时 跟踪训练
