1、2013年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1（4分）（2013奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x的最小正周期是考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦专题：三角函数的图像与性质分析：利用二倍角公式吧函数的解析式化为1cos2x，由此可得它的最小正周期为 解答：解：函数f（x）=2sin2x=1cos2x，故它的最小正周期为 =，故答案为 点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的最小正周期的求法，属于基础题2（4分）（2013奉贤区二模
2、）在的二项展开式中，常数项是70考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项解答：解：在的二项展开式中，通项公式为Tr+1=x8r（1）rxr=（1）rx82r令82r=0，解得 r=4，故展开式中的常数项是 =70，故答案为 70点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题3（4分）（2013奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4考点：基本不等式专题：计算题分析：依题意由基本不等式得x+y=xy，从而可求得x+y的最小值解答：解：x0，y0
3、，xy，又x+y=xy，x+y，（x+y）24（x+y），x+y4故答案为：4点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题4（4分）（2013奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30考点：程序框图专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+10的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+10又2+4+10=30故答案为：30点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题
4、型5（4分）（2013奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=43x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34考点：两点间的距离公式；函数的零点专题：函数的性质及应用分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离解答：解：令 3x =t，可得x=log3t 43x =t 可得x=，故A、B两点之间的距离为 log3t=log3t（ log3tlog34）=log34，故答案为 log34点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题6（4分）（2013奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面
5、所在的平面所成角为45，容器的高为10cm，制作该容器需要100cm2的铁皮考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积专题：计算题分析：由题意可得圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式S=rl，计算可得解答：解：由题意可得圆锥的底面半径r=10，由勾股定理可得：圆锥的母线长为l=10，故圆锥的侧面积S=rl=100，故答案为：点评：本题考查圆锥的侧面积的求解，求出底面半径和母线长是解决问题的关键，属基础题7（4分）（2013奉贤区二模）若实数t满足f（t）=t，则称t是函数f（x）的一个次不动点设函数f（x）=lnx与反函数的所有次不动点之和为m，则m=0考点：反函数专题：计算题；新定义分析：求出
6、函数y=lnx的反函数，利用函数y=lnx的图象与直线y=x有唯一公共点（t，t）则有t=ln（t），ex=xx=ln（x）x=t从而求出两个函数的所有次不动点之和m的值解答：解：函数y=lnx的反函数：y=ex；函数y=lnx的图象与直线y=x有唯一公共点（t，t）则有t=ln（t），而ex=xx=ln（x）x=t故两个函数的所有次不动点之和m=t+（t）=0，故答案为 0点评：本题以新定义为载体，考查了函数图象的对称性的灵活运用，属于中档题8（4分）（2013奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（mR）的一个根是1+ni（nR+），在复平面上的一点Z对应的复数z满足|z|=1，则|z
7、mni|的取值范围是，考点：复数求模分析：由题意求得方程的另一个根为 1ni，由根与系数的关系可得m=2，n2=1满足|z|=1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|zmni|表示点z到点M（m，n）的距离，求得|OM|的值，即可得到|zmni|的取值范围解答：解：关于x的方程x2+mx+2=0（mR）的一个根是1+ni（nR+），另一个根为 1ni，由根与系数的关系可得 （1+ni）+（1ni）=m，且 （1+ni）（1ni）=2解得 m=2，n2=1满足|z|=1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|zmni|表示点z到点M（m，n）的距离而|OM|=，故|zmni|的最小值为 1，最
8、大为 +1故|zmni|的取值范围为1，+1，故答案为1，+1点评：本题主要考查韦达定理、复数的模的定义，以及两个复数的差的绝对值的意义，属于基础题9（4分）（2013奉贤区二模）在极坐标系中，直线的位置关系是相离考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，根据此距离与半径的大小关系判断直线和圆的位置关系解答：解：直线 即 sincos=，即 xy+1=0圆=2cos 即 2=2cos，即 x2+y2=2x，即 （x1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆圆心到直线的距离为 =1=
9、r，故直线和圆相离，故答案为 相离点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判定，属于中档题10（4分）（2013奉贤区二模）已知函数f（x）=lg（axbx）（a1b0），且a2=b2+1，则不等式f（x）0的解集是（2，+）考点：对数函数图象与性质的综合应用专题：函数的性质及应用分析：令u（x）=axbx，利用定义判断u（x）在x（0，+）上单调增，从而得到f（x）在x（0，+）上单调增，由a2=b2+1，可得f（2）=lg（a2b2）=lg1=0，进而得到f（x）0=f（2）解答：解：由题意可得：令u（x）=axbx，不等式即 l
10、gu（x）0，a1b0，所以u（x）在实数集上是个增函数，且u（x）0，又因为u（0）=0，所以应有 x0，u（x）在定义域（0，+）上单调增，f（x）=lg（axbx）在x（0，+）上单调增又因为a2=b2+1，所以f（2）=lg（a2b2）=lg1=0，所以f（x）0=f（2）所以（2，+）故答案为：（2，+）点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性与特殊点，由真数u（x）的单调性确定f（x）的单调性，利用特殊点lg1=011（4分）（2013奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x（0，1），则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=考点：函数解析式的求解及常用方法专
11、题：综合题；函数的性质及应用分析：设x（1，2），则x2（1，0），2x（0，1），由已知表达式可求得f（2x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）=f（x2）=f（2x），从而得到答案解答：解：设x（1，2），则x2（1，0），2x（0，1），所以f（2x）=，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x2）=f（2x）=，即y=，故答案为：y=点评：本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题12（4分）（2013奉贤区二模）设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差相等，则a1+d=考点：等差数列的通项
12、公式专题：等差数列与等比数列分析：由题目给出的条件an和都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求解答：解：由题意知数列an的首项为a1，公差为d因为数列an的前n项和是Sn，所以，又也是公差为d的等差数列，则，两边平方得：，两边平方得：得：，把代入得：d（2d1）=0所以d=0或d=当d=0时，a1=0，不合题意，当d=时，代入解得所以故答案为点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题13（4分）（2013奉贤区二模）椭圆上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B1，B2的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的
13、最小值是2a考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出椭圆上下顶点坐标，设M（xo，yo），N（xm，0），K（xn，0），利用三点共线求出K，N的横坐标，利用M在椭圆上，推出|ON|OK|=a2，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可解答：解：由椭圆方程知B1（0，b），B2（0，b），另设M（xo，yo），K（xk，0），N（xn，0）（2分）由M，N，B1三点共线，知 =（4分）所以xn=（6分）同理得xk=（9分）|OK|ON|=|，又M在椭圆上所以 即b2y=代入得 10分|OK|ON|=|=a2（12分）利用基本不等式，得|ON|+|OK|2=2a
14、，当且仅当|OK|ON|取号，故|OK|ON|的最小值为2a故答案为：2a点评：本题是中档题，思路明确重点考查学生的计算能力，也可以由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标14（4分）（2013奉贤区二模）如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（ACB=90，AC=2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y=f（x），当x0，时y=f（x）=考点：函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：根据三角形在滚动过程中的特点，要使x0，说明三角形进行了两次滚动，一次是以C为圆心，A在四分之一圆周运动，一次是以B为圆心A在中心角是135的扇形弧上运动，由此可求A的轨迹解答：解：当等腰直
15、角三角形以C为旋转点滚动时，A的轨迹是以C（2，0）为圆心，以AC长为半径的圆的部分，当B点落在x轴上时，点A运动了四分之一圆周，所以其轨迹方程为（0x2）；当等腰直角三角形以B为旋转点滚动时，A的轨迹是以B（4，0）为圆心，以AB长为半径的圆的部分，当A点落在x轴上时满足A点的最大横坐标为三角形不在滚动，此过程是以B（4，0）为圆心，以为半径的圆的部分，轨迹方程为（2x）所以顶点A（x，y）的轨迹方程是f（x）=故答案为 点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了分类讨论的数学思想，训练了圆的标准方程，是基础题二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生
16、应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15（5分）（2013奉贤区二模）下列命题中正确的是（）A函数y=sinx与y=arcsinx互为反函数B函数y=sinx与y=arcsinx都是增函数C函数y=sinx与y=arcsinx都是奇函数D函数y=sinx与y=arcsinx都是周期函数考点：命题的真假判断与应用专题：三角函数的图像与性质分析：根据正弦函数y=sinx，当x，时存在反函数，逐个选项分析可得结论解答：解：对于正弦函数y=sinx，当x，时存在反函数y=arcsinx，具有相同的奇偶性和单调性，故选项A错误；选项B，函数y=sinx不单调，故错
17、误；选项C正确；选项D，函数y=arcsinx的定义为1，1，故不是周期函数，故错误故选C点评：本题考查命题真假的判断，涉及反正弦函数和函数的性质，属基础题16（5分）（2013奉贤区二模）设事件A，B，已知P（A）=，P（B）=，P（AB）=，则A，B之间的关系一定为（）A两个任意事件B互斥事件C非互斥事件D对立事件考点：互斥事件与对立事件专题：计算题分析：由题意先求P（A）+P（B），然后检验P（A+B）与P（AB）是否相等，从而可判断是否满足互斥关系解答：解：P（A）=，P（B）=，P（A）+P（B）=又P（AB）=P（AB）=P（A）+P（B）AB为互相斥事件故选B点评：本题主要考查了
18、互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础试题17（5分）（2013淄博一模）数列an前n项和为Sn，已知，且对任意正整数m，n，都有am+n=aman，若Sna恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD4考点：数列的求和专题：计算题分析：由am+n=aman，分别令m和n等于1和1或2和1，由a1求出数列的各项，发现此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出Sn，而Sna恒成立即n趋于正无穷时，求出Sn的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a的最小值解答：解：令m=1，n=1，得到a2=a12=，同理令m=2，n=1，得到a3=a2a1=所以此数列是首项为公比，以为公比的等
19、比数列，则Sn=Sna恒成立即而=则a的最小值为故选A点评：此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题18（5分）（2013奉贤区二模）直线x=2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a，bR，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）Aa2+b22BCa2+b22D考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定A，B的坐标，根据，确定坐标之间的关系，可得，利用基本不等式，即可得出结论解答：解：由题意，A（2，1），B（
20、2，1），设P（x，y），则x=2a+2b，y=abP为双曲线C上的任意一点，4ab=1故选B点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（12分）（2013奉贤区二模）长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点（1）求异面直线AC与B1D所成的角；（2）若B1D平面ACE，求三棱锥ACDE的体积考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系
21、，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；（2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用VACDE=VEADC即可得到体积解答：解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 （1）依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），异面直线AC与B1D所成的角为（2）设E（0，0，a），则，B1D平面ACE，AE平面ACE，B1DAE，1+2a=0，VACDE=VEADC=点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积
22、变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键20（14分）（2013奉贤区二模）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45+（045）的C处，在离观测站A的正南方某处E，cosEAC=（1）求cos； （2）求该船的行驶速度v（海里/小时）考点：余弦定理的应用专题：解三角形分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinEAC的值，根据，利用两角差的余弦公式求得结果（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度解答：解：（1），（2分）=（6分）（2）利用余弦定理求
23、得 BC2=AB2+AC22ABACcos=125，（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时）（14分）点评：本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题21（14分）（2013奉贤区二模）三阶行列式，元素b（bR）的代数余子式为H（x），P=x|H（x）0，（1）求集合P；（2）函数的定义域为Q，若PQ，求实数a的取值范围考点：三阶矩阵；交集及其运算；函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：（1）三阶行列式，元素b（bR）的代数余子式为H（x）小于等于0，可得关于x的二次不等式，解之即可；（
24、2）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值即可解答：解：（1）=2x25x+20（3分），（7分）（2）若PQ，则说明在上至少存在一个x值，使不等式ax22x+20成立，（8分）即在上至少存在一个x值，使成立，（9分）令，则只需aumin即可 （11分）又当时，从而umin=4（14分）由（1）知，umin=4，a4（14分）点评：本题考查行列式，代数余子式的概念，考查解不等式、对数函数的定义域，属于中档题22（16分）（2013奉贤区二模）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1，a3；（2）求证：数列an为等差数列，并
25、写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1pq），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即，得，两式作差得（n1）an+1=nan ，从而有nan+2=（n+1）an+1 ，+，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条
26、件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件解答：（1）解：令n=1，则a1=S1=0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2； （2）证明：由，即，得，得（n1）an+1=nan ，于是，nan+2=（n+1）an+1 ，+，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1，又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以an=n1 （3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 所以，（）易知（p，q）=（2，3）为方程（）的一组解 当p3，且pN*时
27、，0，故数列（p3）为递减数列 于是0，所以此时方程（）无正整数解 综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，bp，bq成等比数列点评：本题考查等差、等比数列的综合问题，考查等差数列的通项公式，考查递推公式求数列通项，存在性问题往往先假设存在，然后以此出发进行推理论证得到结论23（18分）（2013奉贤区二模）动圆C过定点F，且与直线相切，其中p0设圆心C的轨迹的程为F（x，y）=0（1）求F（x，y）=0；（2）曲线上的一定点P（x0，y0）（y00），方向向量的直线l（不过P点）与曲线交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为kPA，kPB，计算kPA+kPB；（3）曲线上的
28、两个定点P0（x0，y0）、，分别过点P0，Q0作倾斜角互补的两条直线P0M，Q0N分别与曲线交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；轨迹方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用抛物线的定义即可得出轨迹方程；（2）由直线l的方向向量可设直线l的方程为，与抛物线的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，得到根与系数的关系，利用斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件，即可得出kPA+kPB；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），可得到kMN设MP0的直线方程为yy0=k（xx0）与抛物线联立，得到根与系数的关系，同理由直线Q0N的方程与抛物
29、线的方程联立也得到根与系数的关系，代入kMN即可证明解答：解：（1）过点C作直线的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为y2=2px（p0）； （2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）不过点P的直线l方程为，由得y2+2y0y2y0b=0，则y1+y2=2y0，=0（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则=（*） 设MP0的直线方程为为yy0=k（xx0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）由，的两根为y0，y1则，同理，得，代入（*）计算得是定值，命题得证点评：熟练掌握抛物线的定义、直线l的方向向量、直线与抛物线相交问题转化为方程联立消去x得到关于y的一元二次方程及得到根与系数的关系、斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件等是解题的关键
