1、牛顿如何导出万有引力定律的科学的研究总是遵循这样一种传统：在获得对某一自然规律正确的乃至定量化的描述之后，就必须回答为什么会有这种规律。这既是一种满足人类探究天性的、十分自然的理性诉求，也是科学理论得以建立和发展，从个别认识走向完整逻辑体系的必经途径。“从发现行星运动规律转而研究其动力学成因”无疑是建立近代科学思想体系最初的几块奠基石之一，值得深入探讨其中所蕴含的科学方法。为此，新教材增加较大篇辐介绍当时人们围绕行星运动成因提出的种种假设，例如伽利略的物体运动趋向合并论，开普勒的太阳磁力论，笛卡尔的以太作用模型以及胡克的只规定作用效果，却不知其内涵的“引力说”（就如同我们把同性相吸的电磁力也称
2、作引力一样）。千万别小看这些现在看来十分幼稚的假定，它们是激发当时科学家创造性思维的源泉。一个正确的理论的产生，并不必然要求其假设前提一定正确，因为一个革命性观念是无法从原有的理论框架中逻辑性地导出，最初的假定作为一种猜测可以被抛弃，但由此导出的结果却因实验确认而长存于世，并重新被赋予新的科学内涵。事实上，牛顿发现万有引力定律并非一帆风顺，他也和其它人那样经历了从朦胧认识到逐渐清晰的过程，其间的思辨方法也极富启迪意义。下面我们分几个具体专题剖析牛顿当时的探索心路，以补教材内容的不足。（一） 引力平方反比律的发现（圆轨道与椭圆轨道）牛顿最初只是考虑要使行星以圆或椭圆轨道绕太阳旋转而不作匀速直线运
3、动，太阳所提供的吸引力是什么性质的力，并未涉及这种力与什么因素有关。为简化问题首先讨论行星绕太阳的匀速圆周运动。由于牛顿已用几何方法导出向心力公式，再结合开普勒第三定律，很容易得出 F 1/R2 。具体推导过程新教材已有介绍，这里不再重复。需要指出的是：上述结论仍有两个不足，一是要推广到行星实际运行的椭圆轨道，二是未能证明为什么可以把两个天体看作全部质量集中于中心的质点来看待。现介绍第一个问题的基本处理思路，后一问题则要用到引力场理论的知识，这里从略。l 基于椭圆轨道的平方反比律更严格推导见于一般理论力学教程有关“质点在有心力场中的运动”一节，这里介绍一种相对简单的作法，这只是对当时牛顿几何证
4、法的近似模拟，。如图8所示，考虑某种特例，即质点在一个焦点为F的椭圆两个顶点A、C的运动。设在一个微小的时间间隔内，质点分别从A、C到E、D，再分别从E和D作过A和C切线的垂线EM、ND。因为时间间隔足够小，可视弧长为直线，且有AMAE ，CDCN ，EM0、ND0 。因而根据开普勒第二定律，有即 （1）考虑类地行星的椭圆轨道偏心率很小，与圆轨道相差不大，则在 AEC 中，根据几何知识可知（AEAM，AMAC ）：同理，在 CDA 中，有：CD2 2aDN 。 （2）。将（2）式代入（1）式，于是有：当质点在两顶点A、B不受力时，将沿切线AM、CN运动，但由于F点的引力作用，质点实际上分别向焦
5、点下落了距离EM与DN，这两个距离显然是与所受的引力fA和fC成正比的，故有 ，即行星作椭圆运动的引力与行星到位于焦点的太阳距离平方成反比。 D E NA M D/BF图 8E/依据相类似的方法，可以证明行星在椭圆上任意一点受到的引力均具有平方反比律的特性，这里从略，有兴趣者可阅读牛顿的自然哲学之数学原理一书。 (二) 地月验证-走向引力普适性的第一步如果说导致行星运动的引力平方反比律特性的发现并非牛顿一人做出的，那么把行星运动涉及的引力概念扩展到地球，将其与地球表面上的重力相联系，并赋予质量和一般力的明确内涵，则只能是牛顿所独创的，这其中蕴含着极为深刻的科学领悟。新教材作为补白的地月验证就是
6、展示牛顿天才思想的生动案例。当时，牛顿是这样来展开他的想法的。首先无论是苹果落地，还是最高建筑物顶或最高山颠上，都未发现重力有明显减弱，那么这个重力也会对月球有影响，并为月球绕地运动提供必要的向心力；接着牛顿利用一个理想实验进一步论证了作用于月球上的力与地球表面的重力是同一性质的力：“如果有一个小月亮很靠近地球，以至触及到地球上最高的山顶。这时如果小月亮突然失去了运动，它就会像山顶上的物体一样以相同的速度下落。如果它所受的向心力并不是重力，那么它将在这两种力的共同作用下以更大的速度下落，这是与我们的经验不符的。因此使月亮保持在它轨道上的力就是我们通常称为重力的那个力。”最后，牛顿想到，地月作为
7、两个天体，其间的引力服从平方反比律，如果重力就是这种引力，那么提供给月亮的向心力强度与地面上物体受到重力相比，应接平方反比律衰减。于是牛顿作了如下的定量证明：如图9所示。设想月球处于轨道任意点A，若不受力，它将沿切线AB进行。然而它实际走弧线AP = S，如果O是地心，则月球在这段时间下落了距离y， 则 而地面物体自由下落的距离为 y /= 1/2 gt2，利用月球绕地周期 T =27。3日= 2。3610 6s，g =9。8 m/s2 ，月地距离 r = 3。84105 = 60 R地 ，R地 = 6400 km ，代入上式有y/ y /= 1/3600 。设地面重力与地月吸引力分别为 f
8、/、f ，且f / y /，f y ，地面物体距地心距离 r /R地 ，故f/ f / = y/ y /= 1/3600 = R地2/（60R地）2=（r /）2/ r2 。B yN sP rO图 9 这表明地面上的重力与地月间的天体引力，乃至行星太阳间的引力一样都服从平方反比律，它们实际上是同一性质的力。天体间引力的普适性被揭示出来，而地面物体所受重力的大小是与物体质量成正比的，这就启发牛顿对引力的本质赋予更深刻的、与物体表观运动无关的内涵，最终导出万有引力定律的简洁表达式：有关引力定律的导出，新教材给出比原有课本更严格清哳的阐述，这里就不再赘言。（三）天文学应用成就引力定律普适性的全面确认
9、 万有引力定律产生于对太阳系内行星运动的研究，但它对物质运动的适用性却要广泛得多。，可以这样说，宇宙中凡有引力参与的一切复杂的现象，无不要归结到这样一条十分简洁的定律之中，这不能不使人惊叹宇宙万物超乎寻常的和谐以及人类理性思考所具有的统摄力。既是在今天，广义相对论作为牛顿引力理论的新版本也仍在宇宙学中发挥重要作用，万有引力概念的普适性甚至超越了整个可观测的宇宙！为使大家对万有引力定律有更深刻的认识，除了教材所介绍的三个应用（计算天体质量、发现未知天体、第一宇宙速度）外，现再举几例：1. 逃逸引力束缚的宇宙速度计算问题(1) 运用平抛公式推导第一宇宙速度课本在人造卫星一节介绍了牛顿当初设想作抛体
10、运动的物体可以成为地球卫星或逃离地球吸引的原理图，但在导出第一宇宙速度时却因其过于麻烦而未采用。为使学生了解前人杰出的思想成果，现介绍牛时当时使用的方法。如图10所示，设地球是一理想球体，半径为R，现将一物体从A上方某一点A/以速度v1水平发射，该点距球心为r，则rR；若t时间内物体水平飞行距离A/D/ = AD = L ，自由下落距离D/Dy（y r，此时由于地球是球体，地球表面在D点也相对于过AD的水平面下降了DB = y，从而保证了物体离地高度不会改变。在下一个t时段也有相应情况，依此类推下去，物体无终点自由下落就可以在一个恒定高度上成为地球卫星。由平抛的运动方程有因为ABE ACB，故
11、将其代入平抛公式，有A/A /DCE2RD/图 10 B （2）第二与第三宇宙速度推导第二与第三宇宙速度分别为物体脱离地球和太阳引力的速度，考虑其运行轨道为椭圆以及学生未学过能量一章，课本没有给出表达公式。但为使引力定律和后面内容的综合，教师仍有必要知道这两个速度的推算。l 计算v2 最方便的方法是引入引力势能，即相对于无穷远点，地面上物体具有引力势能 GM0m/ R0 ，M0、R0分别为地球质量和半径（参见引力场专题）。根据机械能守恒定律，我们有：l 计算摆脱太阳引力的v3 ，可分两个阶段来考虑第一阶段：尽管航天器已脱离地球引力，处于离地球相对较远的位置，但与地太距离相比，仍可近似看作处于地
12、球公转轨道上。以太阳为参考系，其位置为 r =1。51011m ，根据机械能守恒，我们有 第二阶段：v是相对于太阳的绝对逃逸速度，实际发射要折算成相对地球的速度vr 。设地球的公转速度为V0 ，其大小可由下式确定：再由速度的叠加原理，v =vr + V0 因此 vr = v - V0 = 1。24104 m/s 。现设地面上发射飞行器相对于地球的初始速度为v3 ，则在地球参考系中，地面发射点与能够逃逸地球引力，同时又具有摆脱太阳吸引速度vr那一点的机械能相等，即而 GM0m/ R0 = 1/2 mv22 ，v2为第二宇宙速度，故 （3）行星大气分子的逃逸速度。方法如求v2 ，逃逸速度太小的星球
13、无大气。（4）黑洞大小的的经典计算。课本阅读材料给出说明黑洞特性的经典分析，对拓展学生思路很有益处。但需要说明的是，这种说法并不确切，由于光子有动质量，它根本不能离开黑洞表面而被发射。下面再举一例：如果地球成为黑洞，它的经典半径有多大？由计算第二宇宙速度公式 当v2 = C ，有R0 = 2GM0/ C 2 = 26。6710-115。9761024/（ 3108 ）2=8。8610-3 m 1cm 。1 潮汐现象的起因问题解释潮汐现象是牛顿万有引力定律最成功的应用，其基本思想甚至推广到广义相对论、黑洞物理学和宇宙学研究领域。然而由于历史原因，在大学物理教育甚少涉及，使许多中学教师对这一熟悉的
14、自然现象只具有粗浅的常识性了解，为此有必要作一较为深入的探讨。首先从潮汐现象的认识疑难谈起：（1）古语道：“昼涨称潮，夜涨称汐”，表明一天有两潮涨潮落，为什么会有这种周期现象？（2）天文观测表明，任何时刻的海平面总有两处隆起，一处离月球最近，另一处离月球最远，如果潮汐由月球引力所致，又应如何解释远端海水的突起？（2）按万有引力计算公式，对地球而言太阳的引力效应远大于月球，为什么在讨论潮汐时太阳的影响常可忽略？（4）除海水外，地球还有其它形式的潮汐现象吗？引潮力对其它天体有何影响？在下面的讨论中，为使问题简化，取地心为除引力外不受其它力的理想惯性参考系，假定海水均匀分布于地球表面，且不考虑地球自
15、转、海水的环流以及海水与陆地的摩擦力。l 引潮力的定性分析：以月球为例，在地月引力系统中，地、月均绕它们的共同质心转动，质心位于地月连线d距地心 073R处，由于地心绕公共质点旋转时，地球上各点处于平动状态，所以在不同地方均受到大小相等、方向相同的惯性离心力f作用。另一方面月球对地球各处还有引力作用，各点位置不同，受到月球引力F的大小和方向不同，其中最近点A引力最大，最远点C引力最小。因此，在任何时刻，地球除地心外的各点均受到两个非等大反向力的作用，两者的合力效果会使各处的海水产生不尽相同的移动，这就是所谓月球的引潮力。如图11所示。B F D f月F A f F fC图 11引潮力的定量计算
16、：仍如图11所示，考虑四个特殊的点A、B、C、D，在A处，质量为m的物体受到引力F大于惯性离心力f，这两个力的合力，即引潮力为同理在C处有f F ，在B和D点，万有引力和惯性离心力的合力可以证明都是指向地心，其效果造成海水向下运动，结果地球表面海水形状为一椭圆。若考虑地球自转，则除两极外的任一点都分别经历上述四点位置的情况，因此一天会有两次潮涨潮落。l 太阳与月球引潮力的比较：设地球到太阳的距离为D，则 已知M月 = 7351022 kg，M日 = 201030 kg ，d = 384108 m ，D = 151011 m ，代入后有 F月/F日 = 22 ，这表明地球潮汐现象起因主要来自月球
17、的引力。太阳潮虽不易单独观察到，但仍能影响潮汐的大小，当农历初一或十五时，地、月、日几乎在同一直线，两者叠加会出现大潮：而农历初七、八或二十二、三时，月球与太阳引潮力相互垂直，消弱了潮汐效果，形成小潮，实际会因海水流动与其它地理条件推迟一段时间。l 海洋潮汐能量估算：已知地球的转动惯量 I =2/5(mR2)，转动动能 由于潮汐作用使海水与海底摩擦加剧，地球自转减慢，自转周期增加。设自转周期增加T后，其转动动能为，故因自转减慢而损失的动能 Ek = Ek - Ek/因 TT ，故海洋潮汐能功率为 据观测，每百年地球一天增加10-3s，即平均每天增加T = 10-3/10036586400 s将
18、有关数值代入后，有 N = Ek/T= 21012 w 。l 固体潮：发生在地球固态地壳的潮汐称作固体潮，其原理与海洋潮类似固体潮能引起地壳应力的变化，并可能诱发地震。固体潮对天体运动与存在形态影响较大，现举两例：（1）为什么月球总有一面固定朝向地球：由于地球质量是月球的81倍，月球半径是地球的0。273倍，代入引潮力公式可算出地月引潮力之比为22倍。又因为月球转动惯量较小，因此潮汐摩擦造成的自转速度减慢更为明显，当月球自转慢到月周日相当地球的一个月，就会出现月球一面永远朝向地球的情况。此时月球表面凸起也被固定下来，一处在面向地球的正中央，另一处则正好相反，因而也不再有摩擦效应来改变月球的自转
19、周期了。此外，在地月系统中由于角动量守恒，即M2r1 = C，当地球自转变慢时，必将导致地月距离的增大，故月球终将离我们而去。（2）是否会发生地月相撞大灾难: 小行星撞击灾难问题一直为世人所关注。月亮离地球最近，它能否撞击地球？答案是否定的，原因有二：一是如前面所说，潮汐使地球自转变慢，地月距离增大；二是两者间的引潮力必将撕裂试图接近的月球。我们来分析后一种情况。如图12所示。设主、伴星参数分别为：质量半径密度自转主星M R 伴星M/ R/ / /两者间的距离为r ，则撕裂伴星的力为：主星引潮力F、伴星自转离心力f ；而凝聚伴星的力为：分子间结合力与伴星自引力f自，前者较小，可忽略不计，这样，伴星在绕主星运行时能否被撕裂将由三个力决定。考虑伴星一个质元m ，则作用在m这三个力沿x方向的分力由公式计算有（推导从略）伴星被撕裂的条件是三力之和设伴星作同步公转，即/2 = GM/r3 ，则上式变为或 由此解出伴星被撕裂的距离临界条件为rc = R（3/）1/3 = 1。44R （/）1/3 ，对地月系统，/ = 5/3 ，因而有（rc）月 = R 地（3/）1/3 = 1。7 R地 。主星（伴星（月） R r O R/x图 12不难看出，一旦月球撞向地球，在它未接近地球时已被地球引潮力撕裂。月球不可能撞击地球！最有可能的是流星或彗星在接近地球时，其撕裂的大碎片与地球相撞而造成的灾难。
