1、课时规范练37空间向量及其运算基础巩固组1.(2020江西南昌八一中学质检)已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1).若a(b-c),则x的值为()A.-2B.2C.3D.-32.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.OM=OA-OB-OCB.OM=15OA+13OB+12OCC.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=03.(多选)给出下列命题,其中正确命题有()A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量ab,则a,b与任何向量都能构成空间的一个基底C.A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,那么A
2、,B,M,N共面D.已知向量a,b,c是空间的一个基底,若m=a+c,则a,b,m也是空间的一个基底4.下列向量与向量a=(1,-2,1)共线的单位向量为()A.-12,-22,-12B.-12,-22,12C.-12,22,-12D.12,22,125.(多选)已知点P是ABC所在的平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则()A.APABB.APBPC.BC=53D.APBC6.(2020四川三台中学实验学校高三月考)如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=()A.12a+16b-23cB.-12a-16b+23
3、cC.12a-16b-13cD.-12a+16b+13c7.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=()A.72B.52C.310D.638.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是()A.若|a|=2,则m=2B.若ab,则m=-1C.不存在实数,使得a=bD.若ab=-1,则a+b=(-1,-2,-2)9.已知a=(3,2-1,1),b=(+1,0,2).若ab,则=;若ab,则+=.10.(2020上海七宝中学期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下面四个命题:(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1A)2;A
4、D1与A1B夹角为120;A1CC1D=0;正方体的体积是|ABBCCC1|,则所有正确的命题的序号是.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:A1O-12AB-12AD;(2)设E是棱DD1上的点,且DE=23DD1,若EO=xAB+yAD+zAA1,试求实数x,y,z的值.综合提升组12.已知向量a,b,c是空间向量的一个基底,向量a+b,a-b,c是空间向量的另外一个基底,若一向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为()A.12,32,3B.32,-12,3C.3,-12,32D.-12,32,313
5、.已知空间直角坐标系O-xyz中,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QAQB取得最小值时,点Q的坐标为()A.12,34,13B.12,32,34C.43,43,83D.43,43,7314.(2020山东烟台高三期末)如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,BAD=DAA1=60,BAA1=30,N为A1D1上一点,且A1N=A1D1.若BDAN,则的值为;若M为棱DD1的中点,BM平面AB1N,则的值为.创新应用组15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADDC,ABDC,AD=DC=
6、AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BEPD;(2)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求线段PF的长.参考答案课时规范练37空间向量及其运算1.Ab-c=(-2,3,1),a(b-c)=4+3x+2=0,解得x=-2.故选A.2.CM与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,对于A选项,由于1-1-1=-11,所以不能得出M,A,B,C共面;对于B选项,由于15+13+121,所以不能得出M,A,B,C共面;对于C选项,由于MA=-MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量,所以M,A,B,C共面;对于D选项,由OM+OA+OB+OC=0,得O
7、M=-OA-OB-OC,而-1-1-1=-31,所以不能得出M,A,B,C共面.故选C.3.ACD选项A,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A正确;选项B,根据空间基底的概念,可得B不正确;选项C,由BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,可得BA,BM,BN共面,又由BA,BM,BN过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,所以C正确;选项D,由a,b,c是空间的一个基底,则基向量a,b与向量m=a+c一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D正确.故选ACD.4.C由|a|=1+2+1=2,与向量a共线的单位向量为12,-22,12或-12,22,-
8、12.故选C.5.AC因为APAB=0,故A正确;BP=AP-AB=(3,-3,-3),APBP=3+6-3=60,故B不正确;BC=AC-AB=(6,1,-4),|BC|=62+12+(-4)2=53,故C正确;AP=(1,-2,1),BC=(6,1,-4),则AP与BC不平行,故D不正确.故选AC.6.A由题可知,MN=MB-NB=23CB-12AB=23(OB-OC)-12(OB-OA)=12OA+16OB-23OC=12a+16b-23c,故选A.7.Ca=(2,-3,5),b=(-3,1,2),a-2b=(8,-5,1),|a-2b|=82+(-5)2+12=310.故选C.8.AC
9、对于A,由|a|=2,可得12+(-1)2+m2=2,解得m=2,故A正确;对于B,由ab,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;对于C,若存在实数,使得a=b,则1=-2,-1=(m-1),m=2,显然无解,即不存在实数,使得a=b,故C正确;对于D,若ab=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D错误.故选AC.9.-35710因为ab,则ab=3(+1)+0+2=0,解得=-35.若ab,则a=mb,即(3,2-1,1)=m(+1,0,2),故3=m(+1),2-1=0,1=2m,解得=12,=15.故+=710.10.设正方体的棱长
10、为1.建立空间直角坐标系,如图,A1A=(0,0,1),A1D1=(1,0,0),A1B1=(0,1,0),则A1A+A1D1+A1B1=(1,1,1),故(A1A+A1D1+A1B1)2=|A1A+A1D1+A1B1|2=3,3(A1A)2=3|A1A|2=3.故正确;AD1=(1,0,-1),A1B=(0,1,1),设AD1与A1B夹角为,所以cos=AD1A1B|AD1|A1B|=-122=-12,因为0180,所以AD1与A1B夹角为120,故正确;A1C=(1,1,1),C1D=(0,-1,1),A1CC1D=0-1+1=0,故正确;正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB|A
11、1A|AD|,但是|ABBCCC1|=0,故错误.11.解(1)AB+AD=AC,A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-12AC=A1O-AO=A1A.(2)EO=ED+DO=23D1D+12DB=23D1D+12(DA+AB)=23A1A+12DA+12AB=12AB-12AD-23AA1,x=12,y=-12,z=-23.12.B设向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基底a+b,a
12、-b,c下的坐标为32,-12,3.故选B.13.C设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上,可得存在实数使得OQ=OP,即(x,y,z)=(1,1,2),可得Q(,2),所以QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2),则QAQB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=2(32-8+5),根据二次函数的性质,可得当=43时,取得最小值-23,此时Q43,43,83.故选C.14.3-123(1)取空间中一个基底:AB=a,AD=b,AA1=c,设AB=AD=AA1=1,因为BDAN,所以BDAN=0,因为BD=AD-AB=b-a,AN=AA1+A1N=c+b,
13、所以(b-a)(c+b)=0,所以12+-32-2=0,所以=3-1.(2)在AD上取一点M1使得A1N=AM1,连接M1N,M1M,M1B,因为A1NAM1,且A1N=AM1,所以四边形AA1NM1是平行四边形,所以AA1NM1,AA1=NM1,又AA1BB1,AA1=BB1,所以BB1NM1,BB1=NM1,所以四边形BB1NM1是平行四边形,所以NB1M1B,NB1=M1B,又因为M1B平面AB1N,NB1平面AB1N,所以M1B平面AB1N,又因为BM平面AB1N,且BMM1B=B,所以平面M1MB平面AB1N,所以MM1平面AB1N,又因为平面AA1D1D平面AB1N=AN,且MM1
14、平面AA1D1D,所以M1MAN,所以AA1NMDM1,所以A1NDM1=AA1MD=A1D1(1-)A1D1=2,所以=23.15.(1)证明PA底面ABCD,ADAB,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,由题意B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0),BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2),则BEPD=0+2-2=0,BEPD,即BEPD.(2)解BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),由点F在棱PC上,设CF=CP=(-2,-2,2),01,BF=BC+CF=(1-2,2-2,2),BFAC,BFAC=2(1-2)+2(2-2)=0,解得=34,|PF|=1-34|PC|=144+4+4=32,即线段PF的长为32.
