1、辽宁省协作校2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）1.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简，大角化小角，然后根据特殊角求值即可.【详解】由故选：B【点睛】本题考查诱导公式的应用，关键在于大角化小角，属基础题.2.如图，在直角三角形PBO中，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A，若平分的面积，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式，直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式得出，即可得出答案.【
2、详解】设扇形的半径为,则扇形的面积为直角三角形PBO中，的面积为由题意得，故选：B【点睛】本题主要考查了扇形面积公式的应用，属于中档题.3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据常用函数的单调性以及奇偶性可直接判断即可.【详解】由是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，故A错由在是减函数，故B错由为偶函数，且在递减，所以在递增故C正确当时，在递增，在递减故D错故选：C【点睛】本题考查判断函数的性质，掌握常用的函数的性质以及常用的结论，比如：奇奇得偶，奇偶得奇等，审清题意，属基础题.4.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形
3、ABCD是平行四边形，则（ ）A 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求的坐标，再利用数量积的坐标形式直接求的值.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的坐标形式，只要求出未知向量的坐标即可，本题属于容易题.5.已知函数，则（ ）A. 的最小正周期为，最大值为6B. 的最小正周期为，最大值为7C. 的最小正周期为，最大值为6D. 的最小正周期为，最大值为7【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选：B.【点睛
4、】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果，属于基础题.6.函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的单调递减区间.【详解】函数的单调递减区间满足：，则：，据此可得：，故函数的单调递减区间为.故选D.【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知是锐角三角形，则（ ）A. B. C. D. 与的大小不能确定【答案】A【解析】分析：利用作
5、差法，根据“拆角”技巧，由三角函数的性质可得.详解：将，代入，可得，由于是锐角三角形，所以，所以，综上，知故选A点睛：本题主要考查三角函数的性质，两角和与差的三角函数以及作差法比较大小，意在考查学生灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是运用好“拆角”技巧.8.已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得，进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以或，又，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线的坐标运算，三角函数的同
6、角关系，以及三角恒等变换求值，属于基础题.9.当cos 2=时,sin4+cos4的值是()A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-sin22=1-(1-cos22)=.故选C.10.已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式11.已知向量，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，利用
7、平面向量的加法运算求得，再利用向量的模公式，结合正弦函数的性质求解.【详解】因为向量，所以，又，所以，所以，因为，所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模的求法以及三角函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.若，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【详解】 ,所以 原式，故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与
8、差的公式.第卷二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13.若向量，且，的夹角是钝角，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据两个向量的夹角为钝角，利用向量夹角公式列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】沈两个向量的夹角为，依题意，由于的夹角为钝角，所以，解得.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的数量积运算、模的运算，考查向量夹角公式，考查不等式的解法，属于中档题.14.已知，向量绕点A顺时针旋转到位置，则点C的坐标为_【答案】【解析】【分析】设与轴正向夹角为，可得到，由此求得；代入可求得，进而得到点坐标.【详解】 设与轴正向夹角为，则，即，由题意得：设，则 ，即故答案为：.【点睛
9、】本题考查向量坐标的求解，关键是明确旋转后模长不变，可结合三角函数定义来进行坐标的求解.15.已知函数的图像如图所示，则_【答案】【解析】【分析】结合函数图象由，解得，得到，进而得到，然后由函数图象过点求解.【详解】由图可知：，所以，所以，所以，因为函数图象过点，所以，所以，解得，又因为，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.16.设，则_【答案】【解析】【分析】先求出，再计算即得解.【详解】由题得.所以.故答案：.【点睛】本题主要考查辅助角公式和诱导公式的应用，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答
10、题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，且，求【答案】【解析】【分析】利用两角和的正切公式，求得的值，由此证得.【详解】.因为，且，所以都是锐角，.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，属于基础题.18.已知，(1)求和的值；(2)求的值【答案】(1) ，（2）【解析】【分析】（1）把已知条件两边平方，然后利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦函数公式化简可得的值，根据的范围利用同角三角函数间的关系求出即可得到的值；（2）根据的范围求出的范围，由的值利用同角三角函数间的关系求出的值，然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别求出和的值，根据
11、第一问分别求出和的值，把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将每个三角函数值代入即可求出【详解】(1)由题意得()2，即1，.又，.(2)，于是).又.又.又，()().【点睛】本题重点考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，解题的关键是注意角的取值范围，属于中档题19.如图，已知矩形，点为矩形内一点，且，设.（1）当时，求证：；（2）求的最大值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，再利用三角函数的图像和性质求解.详解】以为坐标原点建立平
12、面直角坐标系，则，.当时，则，.（2）由三角函数的定义可设，则，从而，所以，因为，故当时，取得最大值2.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数.（I）求的值；（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）1 ； （II）.【解析】【分析】()首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；()首先求得函数在区间上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c的不等式组，求解不等式组可得c的取值范围.【详解】（I）, 所
13、以. （II）因为，所以.所以.由不等式恒成立， 所以，解得 .所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面之间的距离为h（1）求的解析式；（2）若当时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离【答案】（1）；（2）8m【解析】【分析】（1）采用数形结合，作BD垂直于地面，计算与，然后可得.（2）根据（1）的条件，代入，简单计算可得结果.【详解】（1）
14、如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作于点C，由于，则，根据三角函数的定义，可得，而，于是（2）由（1）知，易得，即点M到地面的距离是8m【点睛】本题考查正弦型函数的实际应用，难点在于表示出，实际问题尤其要注意定义域，考验分析能力，属中档题.22.情境刘晓红同学在做达标训练的课外作业时，遇到一个如何用五点法作出正弦型函数在长度为一个周期的闭区间上的图象及图象之间如何进行变换的问题，她犯愁了问题设函数的周期为，且图象过点（1）求与值；（2）用五点法作函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；（3）叙述函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换而得到由于刘晓红对上述问题还没有掌握解决方法及解题概念和
15、步骤，导致无从下手，于是她请教了班上的学习委员张倩同学给她做了如下点拨：用五点法作出在一个周期的闭区间上的图象，首先要列表并分别令相位、，再解出对应的、的值，得出坐标，然后描点，最后画出图象而由函数的图象变到函数的图象主要有两种途径：按物理量初相，周期，振幅的顺序变换；按物理量周期，初相，振幅的顺序变换要注意两者操作的区别，防止出错经过张倩耐心而细致的解释，刘晓红豁然开朗，并对该题解答如下：（注意：解答第（3）问时，要按照题中要求，写出两种变换过程）【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由函数的最小正周期计算出的值，由该函数的图象过点，结合的取值范围可求得的值；（
16、2）分别令相位、，再解出对应的、的值，得出坐标，然后列表、描点、连线，可得出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；（3）利用三角函数图象变换规律可得出题中中由函数变换到函数的变换方法.【详解】（1）由函数的周期为，且，知，解得将点代入中，有，且，解得，故，；（2）由（1）知，作出函数在一个周期上的图象列表如下：先描点，再作出函数在一个周期上的图象，如图所示：（方法一）先把的图象向左平移个单位长度，得到的图象.再把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象.最后把的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象；（方法二）先将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象.最后把的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象【点睛】本题考查正弦型函数解析式中参数的求解，同时也考查了利用“五点法”作函数的图象以及三角函数的图象变换，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
