1、考向4天体质量和密度的计算(2018全国卷)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.6710-11 Nm2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A.5109 kg/m3B.51012 kg/m3C.51015 kg/m3D.51018 kg/m3(1)审题破题眼: (2)情境化模型:(3)命题陷阱点:陷阱1:不能准确找出稳定自转的临界条件。稳定自转指物体不会因跟随天体自转而离心。所以临界是天体赤道上的物体跟随天体自转所需要的向心力恰好由万有引力提供
2、。陷阱2:计算过程力求精确。估算类问题的计算过程可进行合理的近似,甚至可以只算数量级。计算天体质量和密度的方法:1.重力加速度法:利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由G=mg得天体质量M=。(2)天体密度=。2.天体环绕法:测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由G=m得天体的质量M=。(2)若已知天体的半径R,则天体的密度=。(3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度=,可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。注:若已知的量不是r、T,而是r、v或v、T等,计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v,利用
3、G=m得M=。若已知v、T,可先求出r=,再利用G=m或G=m()2r求M。若已知、T则不能求出M。估算天体质量和密度的解题技巧(1)利用万有引力提供卫星做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的质量,并非环绕卫星的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近运动的卫星才有rR;计算天体密度时,V=R3中的R只能是中心天体的半径。(3)在考虑中心天体自转问题时,只有在两极处才有=mg。1.(地球密度和月球质量)货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体,如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,周期为T1。如果月
4、球绕地球运动也看成是匀速圆周运动,轨道半径为R1,周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,不考虑地球自转的影响,地球看成质量分布均匀的球体。则()A.月球的质量可表示为B.组合体与月球运转的线速度比值为C.地球的密度可表示为D.组合体的向心加速度可表示为()2g2.(地球平均密度)如图所示,两颗人造卫星绕地球运动,其中一颗卫星绕地球做圆周运动,轨道半径为r,另一颗卫星绕地球沿椭圆形轨道运动,半长轴为a。已知椭圆形轨道卫星绕地球n圈所用时间为t,地球的半径为R,引力常量为G,则地球的平均密度为()A. B. C. D.3.(月球密度)我国自行研制的“嫦娥四号”无人探
5、测器发射成功,开启人类首次月球背面软着陆探测之旅。若已知万有引力常量G,那么在下列给出的各种情景中,能根据测量的数据估算月球密度的是()A.在月球表面释放一小球做自由落体运动,测出下落高度H和时间tB.观察月球绕地球的匀速圆周运动,测出月球的直径D和运行周期TC.“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动,测出距月球表面的高度H和运行周期TD.“嫦娥四号”靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动,测出运行周期T4.(星球质量)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间t内速度的改变量v和飞船受到的推力F(其他星球
6、对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为R,引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是()A.,B.,C.,D.,1.“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转,卫星能探测到整个月球的表面。卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H,绕行的周期为TM;月球绕地球公转的周期为TE,半径为R0。地球半径为RE,月球半径为RM。若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,则月球与地球质量之比为()A.B
7、.C.()2()3D.()32.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行,环绕一周飞行时间为T,已知引力常量为G,则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是()A.M=,=B.M=,=C.M=,=D.M=,=3.自2016年起4月24日被设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km。1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 78
8、6 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为()A.a2a1a3B.a3a2a1C.a3a1a2D.a1a2a34.据报道,我国自主研制的“嫦娥二号”卫星在奔月的旅途中,先后完成了一系列高难度的技术动作,在其环月飞行的高度距离月球表面100 km 时开始全面工作。国际上还没有分辨率优于10 m的全月球立体图像,而“嫦娥二号”立体相机具有的这种高精度拍摄能力,有助于人们对月球表面了解得更清楚,所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度约为200 km的“嫦娥一号”更加翔实。若两颗
9、卫星环月运行均可视为匀速圆周运动,运行轨道如图所示,则下列说法不正确的是()A.“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更长B.“嫦娥二号”环月运行的速度比“嫦娥一号”更大C.“嫦娥二号”环月运行时向心加速度比“嫦娥一号”更大D.“嫦娥二号”环月运行时角速度比“嫦娥一号”更大5.电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。“张衡一号”的设计指标和载荷配置均超过国外同类卫星。采用通用小卫星平台,搭载感应式磁力仪、高精度磁强计、电场探测仪、GNSS掩星接收机、等离子体分析仪、高能粒子探测器、朗缪尔探针和三频信标发射机等8种载荷。“张衡
10、一号”的轨道为500公里高度的圆极地轨道,轨道倾角97,降交点地方时为下午14:00,重访周期为5天,已知地球半径为6 400 km,地球表面的重力加速度g为9.8 m/s2,下列说法正确的是()A.“张衡一号“绕地球运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度B.“张衡一号”绕地球运动的周期大于地球同步卫星的周期C.“张衡一号”绕地球运动的角速度大于地球同步卫星的角速度D.仅利用上述数据,无法计算“张衡一号”绕地球运动的线速度6.有一X星球,它的半径为R,自转周期为T,宇宙飞船在以X星球中心为圆心,半径为r1的轨道上绕X星球做圆周运动,周期为T1,不考虑其他星球的影响,已知地球的半径为R0,
11、地球绕太阳做圆周运动的周期为T0,则()A.根据以上数据,有=B.X星球的表面重力加速度为C.X星球的表面重力加速度为D.X星球的第一宇宙速度为7.(多选)如图是2019年10月1日北京天安门国庆大阅兵中我军展示的东风-41洲际弹道导弹,它是目前中国军方对外公布的战略核导弹系统中的最先进系统之一。如图所示,从地面上A点发射一枚中远程地对地导弹,在引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B,C为轨道的远地点,距地面高度为h。已知地球半径为R(Rh),地球质量为M,引力常量为G,若不计空气阻力。下列结论中正确的是()A.导弹在运动过程中只受重力作用,做匀变速曲线运动B.导弹在C点的加速度等于C.
12、地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点D.导弹从A点到B点的时间一定比半径为R的近地卫星的周期大8.“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想。“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验,测得物体由静止自由下落h高度的时间为t,已知月球半径为R,自转周期为T,引力常量为G。求:(1)月球表面重力加速度;(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度;(3)月球同步卫星离月球表面高度。专题四万有引力与航天考向4/研透真题破题有方/C星体自转的最小周期发生在其赤道上的物体所受向心力正好全部由引力提供时,根据牛顿第二定律:G=mR;又因为V=R3、=;联立可得=51015 kg/m3,
13、选项C正确。/多维猜押制霸考场/1.C由于月球是环绕天体,根据题意可以求出地球的质量,不能求月球的质量,A错误;对于组合体和月球绕地球运动的过程,万有引力提供向心力,设地球质量为M,则由牛顿第二定律可知G=m,解得v=,则组合体和月球的线速度比值为,B错误;对于组合体,由G=m(R+h),解得M=,又因为地球的体积为V=R3,整理解得=,C正确;由G=ma,G=mg,知组合体的向心加速度大小为a=()2g,D错误。2.A椭圆形轨道卫星的运行周期为T0=,根据开普勒第三定律得=,则圆形轨道卫星的周期为T=T0,对于圆形轨道卫星,万有引力等于向心力,G=mr,地球的平均密度=,联立可得=,A正确。
14、3.D设月球质量为M,半径为R,月球表面重力加速度为g;小球做自由落体运动,则有:H=gt2,故月球表面重力加速度g=;根据月球表面物体的重力等于万有引力,有:=mg,所以,月球质量M=,月球的体积V=R3,解得月球的密度=,由于月球半径R未知,故月球的密度无法求解,故A错误;观察月球绕地球的匀速圆周运动,测出月球的运行周期T,若再加上月球的轨道半径,能求出地球的质量,不能求出月球的质量,因而也求不出月球的密度,故B错误;“嫦娥四号”在高空绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力等于向心力得G=m(R+H),由于R未知,求不出月球的质量,因而也求不出月球的密度,故C错误;“嫦娥四号”贴近月球表面做匀
15、速圆周运动,根据万有引力等于向心力得G=mR,得M=,月球的密度=,已知G和T,所以可以求出月球的密度,故D正确。4.D根据牛顿第二定律可知F=ma=m,所以m=,飞船做圆周运动的周期T=,得半径为r=,根据万有引力提供向心力可得G=m,得M=,故D正确。/高考猜押竞技场/1.C卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的,由牛顿第二定律及万有引力定律得,对卫星G=m,对月球G=M月,解以上两式得=()2()3,选项C正确。2.C设“卡西尼”号的质量为m,土星的质量为M,“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,G=m(R+h),解得M=。又土
16、星体积V=R3,所以=,故C正确,A、B、D错误。3.D东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速度相同,东方红二号的轨道半径大于地球赤道上随地球自转的物体的半径,由a=2r得a2a3,东方红一号和东方红二号由万有引力提供向心力:G=ma,结合二者离地面的高度可得a1a2。本题容易将地球赤道上随地球自转的物体用万有引力充当向心力:G=ma,得到a3a1,误选C。4.A设“嫦娥二号”和“嫦娥一号”的运动半径分别为r1和r2,万有引力提供向心力,由G=ma=m=mr可得周期之比=,选项A错误;线速度之比=,选项B正确;向心加速度之比=,C项正确;角速度之比=,选项D正确。故选A。5.C由万有引力
17、提供向心力G=ma=m2r=mr,解得a=,=,T=2,由题意知“张衡一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径,故“张衡一号”绕地球运动的向心加速度和角速度大于地球同步卫星的向心加速度和角速度,“张衡一号”绕地球运动的周期小于地球同步卫星的周期,故A、B错误,C正确;在地球表面有mg=G,解得GM=gR2,对卫星有G=m,r=R+h,故“张衡一号”的线速度v=,其中g、R、h均为已知量,故利用上述数据可以计算“张衡一号”的线速度,故D错误。6.D开普勒第三定律适用条件是对应于同一颗中心天体运行的卫星,宇宙飞船在以X星球中心为圆心转动,地球绕太阳做圆周运动,二者不是对应同一个中心天体,故开普勒第三
18、定律不适用,故A错误;X星球的半径为R,自转周期为T,X星球表面质量为m的物体向心力不一定等于物体的重力,即mgmR,星球的表面重力加速度g,故B错误;半径为r1的轨道处的重力加速度为g,则mg=mr1,即g=,在X星球表面的重力加速度大于,故C错误;X星球的质量为M,根据万有引力提供向心力可得:=mr1,得:M=,X星球的第一宇宙速度为v1=,故D正确。7.B、C导弹在运动过程中所受重力的方向一直在变,不是做匀变速曲线运动,故A错误;导弹在C点受到的万有引力提供加速度G=ma,解得a=G,故B正确;导弹做的是椭圆运动,地球球心位于椭圆的焦点上,故C正确;根据开普勒第三定律=k,椭圆轨道的半长轴可能小于地球的半径,所以椭圆的周期可能小于近地卫星的周期,所以导弹从A点运动到B点的时间可能小于半径为R的近地卫星的周期,故D错误。8.【解析】(1)由自由落体运动规律有:h=gt2,所以有:g=。(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度,根据重力提供向心力mg=m,所以:v=在月球表面的物体受到的重力等于万有引力,则有:mg=,所以M=。(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有:=m=m(R+h)解得h=-R。答案:(1)(2)(3)-R
