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2020-2021学年人教A版数学选修2-1教师用书:第3章 章末综合提升 WORD版含解析.doc

上传人:高**** 文档编号:120853 上传时间:2024-05-25 格式:DOC 页数:12 大小:528.50KB
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资源描述

1、巩固层知识整合提升层题型探究空间向量的基本概念及运算【例1】(1)已知|a|3,|b|4,a与b的夹角为135,mab,nab若mn,则()ABC D(2)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A、B、C、D的距离都等于2给出以下结论:0;0;0;0其中正确结论的序号是_(1)D(2)(1)由题意知,mn(ab)(ab)|a|2abab|b|21834cos 13534cos 1351664因为mn,所以640,所以(2)容易推出0,所以正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SASBSCSD2,所以22cosASB,22cosCSD,而ASBCSD,于是,因此正

2、确,其余三个都不正确,故正确结论的序号是1空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算,选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出目标向量,这是用向量法解决立体几何问题的基本要求,解题时可结合已知和所求,根据图形,利用向量运算法则表示所需向量2空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab|a|b|cosa,b及其变式cosa,b是两个重要公式(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式,如a2|a|2,a在b上的投影|a|cos 等1已知P是正六边形ABCDEF外一点,O是正六边形ABCDEF的中心,则等于()A B3C6 D0CO是正六边形ABCDEF的中心,O是

3、对角线AD的中点,也是对角线BE的中点,还是对角线CF的中点,6,故选C空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a(2,3,4),b(4,3,2),bx2a,则x()A(0,3,6)B(0,6,20)C(0,6,6) D(6,6,6)(2)已知向量a(x,1,2),b(1,y,2),c(3,1,z),ab,bc求向量a,b,c;求ac与bc所成角的余弦值(1)B由bx2a得x4a2b,又4a2b4(2,3,4)2(4,3,2)(0,6,20),所以x(0,6,20)(2)解:向量a(x,1,2),b(1,y,2),c(3,1,z),且ab,bc,解得向量a(1,1,2),b(1,1,2),c(3,

4、1,1)ac(2,2,3),bc(4,0,1),(ac)(bc)24203(1)5,|ac|,|bc|,ac与bc所成角的余弦值为熟记空间向量的坐标运算公式,设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),(1)加减运算:ab(x1x2,y1y2,z1z2).(2)数量积运算:abx1x2y1y2z1z2.(3)向量夹角:cosa,b.(4)向量长度:设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),,则.提醒:在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.2在空间直角坐标系中,已知点A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),则ABC一定是()A等腰三角形 B等边三角

5、形C直角三角形 D等腰直角三角形C(3,4,8),(5,1,7),(2,3,1),|,|,|,|2|2|2,ABC一定为直角三角形利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,点E,F分别是PB,PD的中点,PAAB1,BC2求证:(1)EF平面ABD;(2)平面PAD平面PDC证明(1)以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1)因为点E,F分别是PB,PD的中点,所以F,E,即EFBD,又BD平面A

6、BD,EF平面ABD,所以EF平面ABD(2)由(1)可知(1,0,1),(0,2,1),(0,0,1),(0,2,0),(1,0,0),因为(0,0,1)(1,0,0)0,(0,2,0)(1,0,0)0,所以,即APDC,ADDC又APADA,所以DC平面PAD因为DC平面PDC,所以平面PAD平面PDC利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.(3)线面平行:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;利用共面向量定理

7、,即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.(4)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)面面平行:证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直:证明两个平面的法向量互相垂直;转化为线面垂直、线线垂直问题.3如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,ABAD2,CD4,M为CE的中点求证:(1)BM平面ADEF;(2)BC平面BDE证明平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCDAD,ADED,ED平面ABCD以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的正方

8、向建立如图所示空间直角坐标系则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2)(1)M为EC的中点,M(0,2,1),则(2,0,1),(2,0,0),(0,0,2),故,共面又BM平面ADEF,BM平面ADEF(2)(2,2,0),(2,2,0),(0,0,2),440,BCDB又0,BCDE又DEDBD,BC平面BDE利用空间向量求空间角【例4】如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF平面ABCD,点G为AB的中点,ABBE2(1)求证:EG平面ADF;(2)求二面角OEFC的正弦值;(3)设H为线段AF上

9、的点,且AHHF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解依题意,OF平面ABCD,如图,以O为原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,1,0),C(1,1,0),D(1,1,0),E(1,1,2),F(0,0,2),G(1,0,0)(1)证明:依题意,(2,0,0),(1,1,2)设n1(x,y,z)为平面ADF的法向量,则即不妨设z1,可得n1(0,2,1)又(0,1,2),所以n10又因为直线EG平面ADF,所以EG平面ADF(2)易证,(1,1,0)为平面OEF的一个法向量依题意,(1,1,0),(1,1,2

10、)设n2(x,y,z)为平面CEF的法向量,则即不妨设x1,可得n2(1,1,1)因此cos,n2,于是sin,n2所以,二面角OEFC的正弦值为(3)由AHHF,得AHAF因为(1,1,2),所以,进而有H,从而,因此cos,n2所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角:两异面直线所成角的范围为090,需找到两异面直线的方向向量,借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角:要求直线a与平面所成的角,先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn,a,易知n,a或者n,a(3)二面角:如图,有两个平面与,分别作这两个平面的法向量n

11、1与n2,则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补,所以首先应判断二面角是锐角还是钝角4在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH平面ABC(2)已知EFFBAC2,ABBC,求二面角FBCA的余弦值解(1)证明:设CF的中点为I,连接GI,HI在CEF中,因为点G,I分别是CE,CF的中点,所以GIEF又EFOB,所以GIOB在CFB中,因为H,I分别是FB,CF的中点,所以HIBC又HIGII,BCOBB,所以平面GHI平面ABC因为GH平面GHI,所以GH平面ABC(2)连接OO,则OO平面ABC又ABBC,且AC是圆O的直径,所以BOAC以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系由题意得B(0,2,0),C(2,0,0)过点F作FMOB于点M,所以FM3,可得F(0,3)故(2,2,0),(0,3)设m(x,y,z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1),所以cosm,n,所以二面角FBCA的余弦值为

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