1、巩固层知识整合提升层题型探究空间向量的基本概念及运算【例1】(1)已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为135，mab，nab若mn，则()ABC D(2)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2给出以下结论：0；0；0；0其中正确结论的序号是_(1)D(2)(1)由题意知，mn(ab)(ab)|a|2abab|b|21834cos 13534cos 1351664因为mn，所以640，所以(2)容易推出0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正
2、确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是1空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量2空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab|a|b|cosa，b及其变式cosa，b是两个重要公式(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2|a|2，a在b上的投影|a|cos 等1已知P是正六边形ABCDEF外一点，O是正六边形ABCDEF的中心，则等于()A B3C6 D0CO是正六边形ABCDEF的中心，O是
3、对角线AD的中点，也是对角线BE的中点，还是对角线CF的中点，6，故选C空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)(2)已知向量a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，ab，bc求向量a，b，c；求ac与bc所成角的余弦值(1)B由bx2a得x4a2b，又4a2b4(2,3，4)2(4，3，2)(0,6，20)，所以x(0,6，20)(2)解：向量a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，且ab，bc，解得向量a(1,1,2)，b(1，1，2)，c(3,
4、1,1)ac(2,2,3)，bc(4,0，1)，(ac)(bc)24203(1)5，|ac|，|bc|，ac与bc所成角的余弦值为熟记空间向量的坐标运算公式,设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2).(2)数量积运算：abx1x2y1y2z1z2.(3)向量夹角：cosa，b.(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，,则.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.2在空间直角坐标系中，已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC一定是()A等腰三角形 B等边三角
5、形C直角三角形 D等腰直角三角形C(3,4，8)，(5,1，7)，(2，3,1)，|，|，|，|2|2|2，ABC一定为直角三角形利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PAAB1，BC2求证：(1)EF平面ABD；(2)平面PAD平面PDC证明(1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)因为点E，F分别是PB，PD的中点，所以F，E，即EFBD，又BD平面A
6、BD，EF平面ABD，所以EF平面ABD(2)由(1)可知(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC又APADA，所以DC平面PAD因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.(3)线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理
7、，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.(4)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题.3如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点求证：(1)BM平面ADEF；(2)BC平面BDE证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，ADED，ED平面ABCD以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方
8、向建立如图所示空间直角坐标系则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)(1)M为EC的中点，M(0,2,1)，则(2,0,1)，(2,0,0)，(0,0,2)，故，共面又BM平面ADEF，BM平面ADEF(2)(2,2,0)，(2,2,0)，(0,0,2)，440，BCDB又0，BCDE又DEDBD，BC平面BDE利用空间向量求空间角【例4】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上
9、的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0，0,2)，G(1,0,0)(1)证明：依题意，(2,0,0)，(1，1,2)设n1(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0,2,1)又(0,1，2)，所以n10又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF(2)易证，(1,1,0)为平面OEF的一个法向量依题意，(1,1,0)，(1,1,2
10、)设n2(x，y，z)为平面CEF的法向量，则即不妨设x1，可得n2(1，1,1)因此cos，n2，于是sin，n2所以，二面角OEFC的正弦值为(3)由AHHF，得AHAF因为(1，1,2)，所以，进而有H，从而，因此cos，n2所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n
11、1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角4在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值解(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI在CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GIEF又EFOB，所以GIOB在CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HIBC又HIGII，BCOBB，所以平面GHI平面ABC因为GH平面GHI，所以GH平面ABC(2)连接OO，则OO平面ABC又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)过点F作FMOB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n，所以二面角FBCA的余弦值为