1、 类型1离散型随机变量分布列及应用【例1】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示摸球终止时所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率思路点拨(1)可由概率求出白球的个数；(2)先确定随机变量的取值，再求出概率，得出分布列；(3)取到白球的事件含有取到1个白球，3个白球，5个白球解(1)设袋中原有n个白球，由题意，知，可得n3或n2(舍去)，即袋中原有3个白球(2)由题意
2、，X的可能取值为1，2，3，4，5P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)所以取球次数X的分布列为X12345P(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取球记“甲取到白球”为事件A，则P(A)P(X1)P(X3)P(X5)1离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况2求离散型随机变量分布列的步骤第一步，确定随机变量X的所有可能取值；第二步，求出随机变量X取每一个值时相应的概率；第三步，列表跟进训练1某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆
3、900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额的分布列解设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k1，2，3由题意知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)，P(A2)，P(A3)(1)该单位一年内获赔的概率为1P( )1P(1)P(2)P(3)1(2)的所有可能值是0，9 000，18 000，27 000P(0)P( )P(1 )P(2 )P(3 )，P(9 000)P( )P(1 A23)P( A3)
4、P(A1)P(2)P(3)P(1)P(A2)P(3)P(1)P()P(A3)，P(18 000)P(A1A23)P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(A2)P(3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3) ，P(27 000)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)综上可知，的分布列为09 00018 00027 000P 类型2离散型随机变量的均值与方差【例2】A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲
5、类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和期望思路点拨根据题意可得X的可能值为0，1，2，3，且XB(3，p)解(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0，1，2，依题意有：P(A1)2，P(A2)P(B0)，P(B1)2，所求概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)(2)X的可能值为0，1，2，3，且XB(3，)即P(X0)，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)所以X的
6、分布列为X0123P所以EX01231均值和方差都是随机变量的两个重要的数字特征，方差是建立在均值基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛离散型随机变量的均值与方差在实际问题特别是风险决策中有着重要意义2求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(Xk)；(3)写出X的分布列；(4)由均值与方差的定义求出EX、DX3若XB(n，p)，则EXnp，DXnp(1p)跟进训练2某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋
7、中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望解设Ai(i0，1，2，3)表示摸到i个红球，Bj(j0，1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)(2)X的所有可能值为：0，10，50，200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B
8、0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1综上可知，获奖金额X的分布列为X01050200P从而有EX010502004(元) 类型3事件的相互独立与二项分布的应用【例3】某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得10分如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列和期望；(2)求这位挑战者总得分不为负数(即0)的概率思路点拨本
9、题解题的关键是明确的取值及取不同值时所表示的试验结果，明确的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可解(1)如果三个题目均答错，得00(10)10(分)如果三个题目均答对，得10102040(分)如果三个题目一对两错，包括两种情况：前两个中一对一错，第三个错，得100(10)0(分)；前两个错，第三个对，得002020(分)如果三个题目两对一错，也包括两种情形：前两个对，第三个错，得1010(10)10(分)；第三个对，前两个一对一错，得2010030(分)故的可能取值为10，0，10，20，30，40P(10)0.20.20.40.016；P(0)C0.20.80.40.128；P(10)
10、0.80.80.40.256；P(20)0.20.20.60.024；P(30)C0.80.20.60.192；P(40)0.80.80.60.384所以的分布列为10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384所以E100.01600.128100.256200.024300.192400.38424(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为P(0)1P(0)10.0160.9841独立事件是相互之间无影响的事件，P(AB)P(A)P(B)是事件A，B独立的充要条件2n重伯努利试验中，某事件A恰好发生k次的概率P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n，其
11、中随机变量X服从二项分布跟进训练3某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”因为P(X5)
12、，所以P(A)1P(X5)1，即这2人的累计得分X3的概率为(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以EX12 ，EX22，从而E(2X1)2EX1，E(3X2)3EX2因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 类型4正态分布的应用【例4】在某次语文考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即XN(90，100)(1)试求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次
13、考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？思路点拨正态分布已确定，则和可求出，这样就可以根据正态分布的三个常见的区间上取值的概率进行求解解XN(90，100)，90，2100，10(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954，而29021070，290210110，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.954(2)80，100，由于正态变量X在区间(，)内取值的概率是0.683，所以考试成绩X位于区间(80，100)内的概率是0.683，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2 0000.6831
14、 366(人)正态分布在实际生产生活中有着广泛的应用，在解题中注意求准正态分布中的参数，熟练掌握随机变量在三个区间(，)，(2，2)，(3，3)内取值的概率，并结合正态分布密度曲线的性质解决实际问题.跟进训练4某厂生产的圆柱形零件的外径XN(4，0.25)质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm试问该厂生产的这批零件是否合格？解由于圆柱形零件的外径XN(4，0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4，0.25)在区间(430.5，430.5)，即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎
15、不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的【例】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，
16、确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04；所以X的分布列
17、为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，EY192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040当n20时，EY202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19频率分布直方图、条形图、柱状图等是考查数据收集和整理的常用依据，掌握图
18、中常见数据的提取方法，将频率看作概率是解决这类问题的关键.素养提升练某市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该市空气质量指数与空气质量等级对应关系，如表(假设该区域空气质量指数不会超过300)空气质量指数(0，50(50，100(100，150(150，200(200，250(250，300空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该市在2020年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率(1)请估算2020年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；(2)该市将于2020年1
19、2月25，26，27日举办一场国际会议，若这三天中某天出现5级重度污染，则该天需要净化空气费用10万元，出现6级严重污染，则该天需要净化空气费用20万元，假设每天的空气质量等级相互独立，记这三天净化空气总费用为X万元，求X的分布列及数学期望解(1)由直方图可得2020年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数为(0.0020.004)503650.3365109.5110(2)由题可知，X的所有可能取值为0，10，20，30，40，50，60，则P(X0)，P(X10)C，P(X20)CC，P(X30)CC，P(X40)CC，P(X50)C，P(X60)，所以X的分布列为X0102030405060PEX01020304050609(万元)
