1、正、余弦定理（第一课时） 高三第一轮复习课 一 学情分析学生通过必修5的学习，已了解正弦和余弦定理的内容，但如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，还需通过复习指导有待进一步提高二 教材分析本课为高三一轮复习，内容是必修5第1章解三角形本章中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。解三角形是数学高考中重点考查内容之一，而正弦定理和余弦定理是解决有关三角形问题的两个重要定理高考对这一内容的考查既可能出现在填空题，也可能出现在解答题填空题通常以考查三角形边角互化为主的小综合题形式出现，有一定难度；解答题主
2、要考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的综合运用，难度虽然不大，但要求考生具有一定的运算能力和灵活运用正弦定理、余弦定理解题的能力。三教学目标 （一）知识与技能(1)理解正弦定理、余弦定理的向量证法，掌握利用正弦定理、余弦定理实现三角形边角互化的方法与途径；(2)能根据条件灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关综合问题；（二）过程与方法培养学生有较强的自主学习能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力。（三）情感、态度价值观通过三角函数、正弦定理、余弦定理、向量数量积等知识间的联系体现事物之间的普遍联系与辩证统一。四.教学重点能综合运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。与向量、不
3、等式等其他知识的综合运用五.教学难点 正、余弦定理的探索和证明；合理选择正弦定理、余弦定理优化求解过程，解三角形中多解的取舍问题六.教学工具 多媒体七.教学过程 （一）课前自主学习 1.知识梳理（1）复习正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式（2）三角形面积公式：2.自我检测（1） 用向量法证明余弦定理（2） （教材改编）在中，若，则 .（3） (教材第11页)在中，已知，则的形状 为 .（4） (教材改编)在中，已知，,，则的面 积为 .设计意图：用导学案辅助教学，课前以填空题的形式引导学生自主完成正弦、余弦定理的内容、变形、证明及其应用等知识的梳理，并留有下列自测题。（二）课堂
4、师生互动师生共同梳理： 1. 定理的证明师：余弦定理、正弦定理有多种证明方法，请同学们回忆余弦定理的向量证法。生1：因为,.师：上述证法简单明了，充分体现了向量的工具作用这里运用了向量的什么知识实现了几何与代数的转化?学生共同回答：向量的数量积公式师：正弦定理、余弦定理的向量证法，都是先构建三角形中的向量等式，然后利用向量的数量积运算将向量等式实数化，这是利用向量知识解决几何问题的一种重要方法与途径。2.定理的应用2.1 解三角形中的三种类型师：如图，下列各三角形用正弦定理还是余弦定理求解? 生2：三角形中已知两边(两角)及其一对角(对边)，可用正弦定理求解；三角形中已知三边和两边一夹角可用余
5、弦定理求解生3：三角形还可以用余弦定理构建关于边的一元二次方程求解师：归纳起来，三角形可用正弦定理求解，三角形可用余弦定理求解，三角形既可用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解，这是可用正弦、余弦定理求解的三类三角形2. 2 边角互化的两条途径师：说说自测2的解题思路，生4：由平方差公式可得，.由余弦定理，,.师：说说自测题3的解题思路生5：利用正弦定理,将边统一化为角，转化为代数问题求解.即：,或.或.为等腰三角形或直角三角形.生6：还能用余弦定理转化成边的关系，通过因式分解得， 或，为等腰三角形或直角三角形.师：若把自测3变式为：在中，已知,则的形状为 .生7：同样的方法求得只能为等腰三角形
6、.师：正弦定理、余弦定理的上述变形是实现三角形边角互化的两条常用途径目标检测1：(1) 判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)在中，必有()当时，为锐角三角形；当时，三角形为直角三角形；当时，三角形为钝角三角形()(2)(2013陕西)设的内角所对的边分别为，若，则的形状为( B )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定解析：由，得，即,所以，由，得，所以为直角三角形(3) 在中，的面积为，则边的值为(C)A2B. C.D3解析：由，故，. ，所以.2.3 三角形边角关系的一条规律师：自测题4用什么定理求解?本题正确求解的关键是什么?生8：用的是正弦定理，正确求解的关键是
7、多解的取舍问题师：很好!“大边所对的角较大”是多解取舍时常用依据之一再看下面的变式问题：在ABC中，,求.师：本题的关键是如何判定角是锐角还是钝角生9：由得，所以，再由正弦定理得,即，故角一定是锐角师：两位同学用不同方法都得到了正确结论，但比较而言的后一种方法更具一般性一般地，在中，有.这是解三角形中多解取舍依据的一条规律目标检测2：(1)在中，若，则 1(2)若满足条件,的有两个，那么的取值范围是 . 设计意图：回归教材，变换形式进行数学“三基”的再强化，教材中定理和例习题具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想。因此在高三一轮复习中，要认真分析教材与高考的
8、连接点，充分利用教材相关资源，通过改编例习题的形式将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络；通过挖掘教材中定理例题所隐含的数学思想方法(如本节课中余弦定理的向量证法中隐含的向量等式实数化的方法，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法复习过程中，不妨将分散在教材各章节中有联系的知识灵活“串联”起来，并以多种多样的方式加以呈现，让学生在回归教材时进行再整理、再综合，进而掌握不同知识的结合点，提高综合运用知识解题的能力，发展学生的联想、归纳、推理等思维能力3典型例题讲解例题.(2013北京高考题)在中,，.(1)求的值；(2)求的值 解： (1),在中，由正弦定理得所以,而,故.(2) 法1
9、：.由(1)知，在中的，由正弦定理可得法2：由余弦定理得到方程，或这下课堂沸腾了，两种答案不一样，同学们立刻展开了讨论.生10：首先站起来回答：当时，,又，与矛盾，舍去.生11说：舍去.生12说：因为，所以，而当时，舍去.生13回答说：故从而可得，所以，.师：本例中，通过对题设及结论的分析，合理选择正弦定理或余弦定理找到简便的解题途径是关键解法2看似简单，其实因需排除增解实属不易对多解取舍除了依据前面讲到的“三角形中，大角所对的边较大或正弦值较大”外，本题中根据已知三角函数值估算出角的范围也是常用的方法探究：中，若有，三边之间之间应满足什么条件?生14：由得，然后用余弦定理将角化成边生15：由
10、得，用正弦、余弦定理将角化成边得 .师：上面第一个同学虽然得到了三边间的关系式，但太复杂且不易化简，我们对此结论不满意第二个同学的结论简单了很多，能否进一步化简?生16：可通过因式分解得到或师(追问)：当时，的关系如何?生17：当时，是一个等腰直角三角形， 至此，学生发现结论“包含在结论中由此，我们得到了令人满意的结论：在中，若，则正当我们要结束本题的讨论时，班内平时不大说话的同学表示他有更简单的解法生18：由，得，即又由正弦定理得，化简即得师：这真是一种大胆而巧妙的证法其大胆之处是敢于将变形为，打破传统思维模式(用二倍角公式)，其巧妙之处是联用正弦定理、余弦定理化角为边，收到了意想不到的效果
11、目标检测3： （1）如图在中，是上 一点，且,求的长（2）(2014课标全国)已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_解(1)：法一：在中，由余弦定理得再在中，由余弦定理得法二：由可知,两边平方的，再在中，由余弦定理可求得,从而可求出,问题获得解决.法三：由可知,两边平方的，.所以.法四：根据题意可知又由,得，在和中分别由余弦定理得,解得师：解三角形问题归根到底是几何问题，因此解题中常需综合运用正弦定理、余弦定理及三角、向量等知识以达到简化解题过程的目的.(2)答案解析，又可化为，.，.中， （“”当且仅当时取得） .设计意图：高三数学复习课容量大、时间紧，课堂上教师一言堂、满堂灌的现
12、象较普遍。实际上，高三数学复习中，教师精心选择好的素材和试题，适时让学生自主或师生合作进行解法的探究及知识的引申拓展，这不仅不会影响复习的进度，还会使高三课堂更充满活力，有利于促进学生思维的发展，培养学生的创新精神和实践能力，提高课堂教学的效率和品位。（三）课堂小结(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大
13、角定理进行判断。（3）三角形面积公式的应用原则：对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化（四）作业：世纪金榜的正、余弦定理八. 教学反思(1)回归教材，变换形式进行数学“三基”的再强化高三数学复习要重视回归教材，已是全体高三教师的共识但在回归教材的时间节点上，目前比较通行的是在高三一轮、二轮复习结束后距高考一个月的时间内进行，作为一轮与二轮全面、强化复习后的查漏补缺、“保温”训练这项工作固然必要，但数学“三基”的落实、数学素养的形成在平时，而非一朝一夕之功教材中定理和例习题具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透某些数学方法
14、，或是体现某种数学思想，因此在高三一轮复习中，要认真分析教材与高考的连接点，充分利用教材相关资源，通过改编例习题的形式将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络；通过挖掘教材中定理例题所隐含的数学思想方法(如本节课中余弦定理的向量证法中隐含的向量等式实数化的方法)，使学生了解到高考中所用的一些解题思想方法并非是无源之水，无本之木，而是来源于教材，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法(2)注重联系，“合纵连横”进行知识体系的再建构高三一轮复习的重点是紧扣教材，夯实“三基”，但如果仅停留在教材知识的简单重复与罗列上，无法激起学生主动参与的兴趣复习过程中，不妨将分散在教材各章节中有联系的知识灵活“串联”起来，并以多种多样的方式加以呈现，让学生在回归教材时进行再整理、再综合，进而掌握不同知识的结合点，提高综合运用知识解题的能力，发展学生的联想、归纳、推理等思维能力(3)突出探究，着眼能力进行核心原理的活运用高三数学复习课容量大、时间紧，课堂上教师一言堂、满堂灌的现象较普遍实际上，高三数学复习中，教师精心选择好的素材和试题，适时让学生自主或师生合作进行解法的探究及知识的引申拓展，这不仅不会影响复习的进度，还会使高三课堂更充满活力，有利于促进学生思维的发展，培养学生的创新精神和实践能力，提高课堂教学的效率和品位。
