1、安徽寿县一中2012届三轮冲刺试卷（五）数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第卷（选择题，共50分）一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分，共50分.请把答案填在答题卡的相应位置.1.已知复数，则（ ）A. B. C. D.2.在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线的焦点重合的是（ ）A. B. C. D.3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位:），则该几何体的体积（单位:）为（ ）11俯视图111正视图1侧视图A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A.4 B.5 C.6 D.7开始为偶数输
2、出结束是否是否5.已知函数且为奇函数，其图象与轴的所有交点中最近的两交点间的距离为，则的一个单调递增区间为（ ）A. B. C. D.6.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是（ ）A.2枝牡丹花贵 B.3枝月季花贵 C.相同 D.不确定7.设，则中奇数的个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.58.已知集合，且，由整数对组成的集合记为，则集合中元素的个数为（ ）A.5 B.6 C.7 D.89.等差数列的前项和为,且.设,则当数列的前项和取得最大值时, 的值是（ ） A.23 B.25 C.23或24
3、 D.23或2510.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A.0.85 B
4、.0.8192 C.0.8 D.0.75第卷（非选择题，共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案填在答题卡的相应位置.11.某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有 人.0.3815,16）0.0613,14）频率成绩0.0817,18）0.3216,17）0.1614,15）12.已知、是非零向量且满足，则与的夹角是 . 13.在极坐标系中，定点，动点在直线上运动，则线段的最短长度是 . 14.在面积为的正三角形中,是边上的动点,过点作,交于点,
5、当点运动到离边的距离为高的时,的面积取得最大值为.类比上面的结论,可得在各条棱相等的体积为的四面体中,是棱上的动点,过点作平面平面,分别交于点,则四面体的体积的最大值等于 .15.函数的导函数为，若对于定义域内任意、，有恒成立，则称为恒均变函数给出下列函数：；其中为恒均变函数的序号是 .（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题:本大题共6个小题,满分75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.如图，在中，已知，为边上一点（1）若，求的长；（2）若，试求的周长的取值范围17.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇
6、子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔以表示笼内还剩下的果蝇的只数（1）写出的分布列（不要求写出计算过程）并求数学期望；（2）求概率18.如图,在四棱锥中,底面为正方形, 平面,已知，.（1）若为的中点,求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）如果四棱锥有外接球，求出四棱锥外接球的半径，没有的话请说明理由.19.如图，设圆与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点.（1）若过点且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，求的值；（2）若直线与抛物线相交于两点，且与圆相切，切点在劣弧上，求的取值范围.20.设
7、函数（为自然对数的底数），（）（1）证明:；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明:（）21.已知数列的首项为1，对任意的，定义.（1）若，求；（2）若（），且.当时，求数列的前项的和；当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.参考答案一、选择题题号12345678910答案ADBBCAADDD二、填空题11.11 12. 13. 14. 15.三、解答题16（1）或；（2）17. 解：（1）的分布列为：0123456（2）数学期望为AFEDCBG（3）所求的概率为18解:（1）设和相交于,连结正方形,又,，又平面,平面,平面（2）过点作,垂足为,连结，平面,又,平面
8、,平面，所以是直线与平面所成的角RT中, ,所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）平面,又 为正方形,所以有,所以四棱锥有外接球,且半径为19. 【解】：（1）由，得或，即点的坐标为，所以直线与圆交于两点，与抛物线交于两点设直线方程为代入，得，直线方程为代入，得，的值为（2）解法1：设直线的方程为，代入抛物线方程得设点，则，则直线与该圆相切，即，又，分别过点的圆的切线的斜率为，又，的取值范围是.解法2：设直线的方程为，代入抛物线方程得设点，则，则直线与该圆相切，即，又，分别过点的圆的切线的斜率为的取值范围是.20. （1）证明：设，所以当时，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取
9、得唯一极小值，因为，对任意实数均有 即，（2）解：当时，用数学归纳法证明如下：当时，由（1）知假设当（）时，对任意均有，令，因为对任意的正实数， 由归纳假设知，即在上为增函数，亦即，因为，所以从而对任意，有即对任意，有这就是说，当时，对任意，也有由、知，当时，都有（3）证明1：先证对任意正整数，由（2）知，当时，对任意正整数，都有令，得所以再证对任意正整数，要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立即要证明对任意正整数，不等式（*）成立以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：当时，成立，所以不等式（*）成立假设当（）时，不等式（*）成立，即则，所以这说明当时
10、，不等式（*）也成立由、知，对任意正整数，不等式（*）都成立综上可知，对任意正整数，不等式成立方法2（基本不等式法）：因为，将以上个不等式相乘，得所以对任意正整数，不等式（*）都成立综上可知，对任意正整数，不等式成立21.解：（1）,. （2）（）解：因为（），所以，对任意的有， 即数列各项的值重复出现，周期为.又数列的前6项分别为，且这六个数的和为7. 设数列的前项和为，则，当时， 当时，所以，当为偶数时，；当为奇数时，.（）证明：由（）知：对任意的有，又数列的前6项分别为，且这六个数的和为.设，（其中为常数且），所以. 所以，数列均为以为公差的等差数列.因为时，时，所以为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.
