1、9.13 立体几何的综合问题知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折，空间向量的应用.点击双基1.若RtABC的斜边BC在平面内，顶点A在外，则ABC在上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角
2、线的夹角为60，则长方体的体积是A.27 B.8 C.8 D.16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，V=222=8.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_.解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.答案：a35.已知ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积是_.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos，=，sinA=.S=|sinA= .答案：典例剖析【例1】 在直角坐标系Oxyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0
3、）， =（0，0，1）.（1）求与的夹角的大小；（2）设n=（1，p，q），且n平面SBC，求n；（3）求OA与平面SBC的夹角；（4）求点O到平面SBC的距离；（5）求异面直线SC与OB间的距离.解：（1）如图，= =（2，0，1），= + =（1，1，0），则|=，|=.cos=cos，=，=arccos.（2）n平面SBC，n且n，即 n=0，n=0.=（2，0，1），= =（1，1，0），即n=（1，1，2）. 2q=0， p=1，1p=0. q=2，（3）OA与平面SBC所成的角和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求与n所成的角.=（0，1，0），|=1，|n|=.cos，n=
4、，即，n=arccos.=arccos.（4）点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值，d=|= .（5）在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m.设m=（x，y，1），m且m，则m=0，且m=0.即 2x1=0， x=，x+y=0， y=.m=（，1），d=|= =.特别提示借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.【例2】 如图，已知一个等腰三角形ABC的顶角B=120，过AC的一个平面与顶点B的距
5、离为1，根据已知条件，你能求出AB在平面上的射影AB1的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB1=2?解：在条件“等腰ABC的顶角B=120”下，ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB1=2：CB1=2；CB=或AB=；直线AB与平面所成的角BAB1=arcsin；ABB1=arctan2；B1AC=arccos；AB1C=arccos；AC=；B1到AC的距离为；B到AC的距离为；二面角BACB1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB1=2，那么能够推出什么结果，再回过来考虑根据这一结果能否
6、推出AB1=2.【例3】 （2004年春季北京）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求证：BCSC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证法一：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BCSC.证法二：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，SDBC.又DCSD=D，BC平面SDC.BCSC.（2）解法一：SD底面
7、ABCD，且ABCD为正方形，可以把四棱锥SABCD补形为长方体A1B1C1SABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBC，BCA1S，SCA1S.又SDA1S，CSD为所求二面角的平面角.在RtSCB中，由勾股定理得SC=，在RtSDC中，由勾股定理得SD=1.CSD=45，即面ASD与面BSC所成的二面角为45.解法二：如下图，过点S作直线lAD，l在面ASD上.底面ABCD为正方形，lADBC.l在面BSC上.l为面ASD与面BSC的交线.SDAD，BCSC，lSD，lSC.CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法
8、一）.（3）解法一：如上图，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点，DMSA.BAAD，BASD，ADSD=D，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DMSB.异面直线DM与SB所成的角为90.解法二：如下图，取AB的中点P，连结MP、DP.在ABS中，由中位线定理得PMBS.DM与SB所成的角即为DMP.又PM2=，DP2=，DM2=.DP2=PM2+DM2.DMP=90.异面直线DM与SB所成的角为90.闯关训练夯实基础1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为A.180
9、B.120C.60 D.45答案：C2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为A.arccos B.arccosC.arccosD.arccos解法一：=+，= +，=（+）（+）= .而|= = = .同理，|=.如令为所求之角，则cos=，=arccos.应选D.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，把D点视作原点O，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0）、M（1，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）.=（0，1），=（1，0，）.故=01+0+1=，|=，|=.cos=.=arccos.答案：
10、D3.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干.现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_.解析：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，则V水=V柱V=S2a（S）2a=aS.设图甲中水面的高度为x，则Sx=aS，得x=a.答案：4.在三棱锥PABC中，底面是边长为2 cm的正三角形，PA=PB=3 cm，转动点P时，三棱锥的最大体积为.解析：点P到面ABC距离最大时体积最大，此时面PAB面ABC，高PD=2.V=42= .答案： cm35.把长、宽各为4、3的长方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和顶点D的距离.解：如图
11、，作BEAC于E，二面角BACD为直二面角，BEAC， BE平面ADC，DE平面ADC，BEDE.在RtABC中，可得BE=，AE=，在ADE中，DE2=AE2AD22ADAEcosEAD=1624=.在RtBDE中，BD=BE2ED2=.培养能力6.已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF；（3）求异面直线PA和EF的距离.（1）证明：如下图，APE=APF=90，PEPF=P，PA平面PEF.EF平面PEF，PAEF.（2）证明：APE
12、=EPF=90，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.（3）解：在面PEF中，作PGEF，垂足为G，AP与面PEF垂直，PG平面PEF，APPG，PGEF，PG是AP与EF的公垂线.在等腰RtPEF中，PE=PF=，EPF=90，PG=EG=.7.（文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，PA底面ABCD，PD与底面成30角.（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成的角.（1）证明：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0
13、，0），B（a，0，0），D（0，2a，0），P（0，0，a）， =（a，0，0）（0，2a，a）=0，又 =0，.PDBE.（2）解：PA面ABCD，PD与底面成30角，PDA=30.过E作EFAD，垂足为F，则AE=a，EAF=60，AF=a，EF=a，E（0，a，a）.于是=（0，a，a）.又C（a，a，0），D（0，2a，0），CD=（a，a，0）.cos，=，异面直线AE与CD所成的角是arccos.（理）四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，B=C=90，CDAB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30角，（1）求证：
14、CM面PAD；（2）求证：面PAB面PAD；（3）求点C到平面PAD的距离.分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法.如下图，建立空间直角坐标系Oxyz，C为坐标原点O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标.（1）证明：如图，建立空间直角坐标系.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABC所成的角，即PBC=30.|PC|=2，|BC|=2，|PB|=4.得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）.|MB|=3|PM|，|PM|=1，M（0，）， =（0，），=（1，0，2），=（
15、3，2，0）.设=x+y（x、yR），则（0，）=x（1，0，2）+y（3，2，0）x=且y=，= + .、共面.又C平面PAD，故CM平面PAD.（2）证明：过B作BEPA，E为垂足.|PB|=|AB|=4，E为PA的中点.E（2，1），=（2，1）.又=（2，1）（3，2，0）=0，即BEDA.而BEPA，BE面PAD.BE面PAB，面PAB面PAD.（3）解：由BE面PAD知，平面PAD的单位向量n0=（2，1）.CD=（1，0，0）的点C到平面PAD的距离d=|n0|=|（2，1）（1，0，0）|=.探究创新8.如图，AB为圆柱OO1的母线，BD为圆柱OO1下底面直径，AB=BD=2，
16、点C为下底面圆周O上的一点，CD=1.（1）求三棱锥CABD的体积；（2）求面BAD与面CAD所成二面角的大小；（3）求BC与AD所成角的大小.分析：本题主要考查直线、平面的位置关系，考查圆柱的有关概念，考查直线、平面所成角的概念及求法，考查空间想象能力和推理能力.解：（1）AB为圆柱OO1的母线，AB下底面.AB为棱锥ABCD的高.而点C在O上，BCD为直角三角形，BCD=90.BD=2，CD=1，BC=.V三棱锥CABD=V三棱锥ABCD=12=.（2）过B作BEAD，垂足为E，过点B作BFAC，垂足为点F，连结EF.由BD为底面圆的直径，得BCCD.AB平面BCD，BCCD，ACCD.而
17、ACBC=C，CD平面ABC.而CD平面ADC，平面ABC平面ADC，且它们的交线为AC.BF平面ABC，BFAC，垂足为点F，BF平面ACD.而BEAD，AD平面ACD，EFAD.平面ABD平面ACD=AD，BEF是面ABD与面ACD所成的二面角的平面角.由BE=AD=，AC=，AB=2，可求出BF=.sinBEF=.BEF为锐角，BEF=arcsin.故所求二面角的大小为arcsin.（3）过点D在下底面作DGBC交O于点G，则GDA为BC与AD所成的角.连结BG、AG，由BD是O的直径，得GDBG，则AGDG，BC=GD.cosGDA=.GDA=arccos.所求BC与AD所成的角的大小
18、为arccos.思悟小结1.利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形.这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确地解决问题.2.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标.正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系.3.在综合问题中，首先要注意是否构建直角坐标系，能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐
19、标系.其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合，向量方法与传统方法各有千秋，相得益彰.必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点：（1）怎样选择应用基底（不设直角坐标系）和建立直角坐标系及坐标系建立技巧；（2）法向量的应用对处理角和距离的重要性；（3）怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型；（4）准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点；（5）空间向量是怎样由平面向量拓展而来的.教师下载中心教学点睛要给学生归纳、总结，使学生系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质，通过对照，深刻理解异面直线
20、所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角，理解点到面的距离、异面直线的距离.通过解题总结证明立体几何问题的常见方法，注意培养学生的空间想象能力.拓展题例【例1】 已知直线a，且a与间的距离为d，a在内的射影为a，l为平面内与a平行的任一直线，则a与l之间的距离的取值范围是A.d，+） B.（d，+）C.（0，dD.d解析：如图，在a上任取一点P作POa，垂足为O，过O作OAl，垂足为A，连结PA.则PAl，PAa，故PA就是a与l之间的距离.在RtPOA中，PAPO=d，选B.答案：B【例2】 如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截
21、后剩下部分的体积是_.解析：两个相同的几何体倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体.答案：r2（a+b）【例3】如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点.（1）求证：B1P不可能与平面ACC1A1垂直； （2）当BC1B1P时，求线段AP的长；（3）在（2）的条件下，求二面角CB1PC1的大小.（1）证明：连结B1P，假设B1P平面ACC1A1，则B1PA1C1.由于三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，AA1A1C1.A1C1侧面ABB1A1.A1C1A1B1，即B1A1C1=90.这与A1B1C1是等边三角形矛盾.B1P不可能与平面ACC1A1垂直.（2）解
22、：取A1B1的中点D，连结C1D、BD、BC1，则C1DA1B1，又AA1平面A1B1C1，AA1C1D.C1D平面ABB1A1.BD是BC1在平面ABB1A1上的射影.BC1B1P，BDB1P.B1BD=90BB1P=A1B1P.又A1B1=B1B=2，BB1DB1A1P，A1P=B1D=1.AP=1.（3）解：连结B1C，交BC1于点O，则BC1B1C.又BC1B1P，BC1平面B1CP.过O在平面CPB1上作OEB1P，交B1P于点E，连结C1E，则B1PC1E，OEC1是二面角CB1PC1的平面角.由于CP=B1P=，O为B1C的中点，连结OP，POB1C，OPOB1=OEB1P.OE=.tanOEC1=.OEC1=arctan.故二面角CB1PC1的大小为arctan.
