1、5.3直线与平面的夹角课时目标1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角1直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的_所成的角，其范围是_，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中_的角2直线和平面所成的角可以通过直线的_与平面的_求得，若设直线与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则有sin _.一、选择题1在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C夹角的大小是()A30 B45 C60 D902.如图所示，四面体SABC中，0，0，0，SBA45，SBC6
2、0，M为AB的中点则BC与平面SAB的夹角为()A30 B60C90 D753平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为()A30 B60C45 D1204如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A等于90B小于90C大于90D不确定5若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于()A30 B60C150 D以上均错6正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A30 B60
3、C150 D90题号123456答案二、填空题7.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_8正方形ABCD的边长为a，PA平面ABCD，PAa，则直线PB与平面PAC所成的角为_9在正三棱柱ABCA1B1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为_. 三、解答题10.如图所示，在直三棱柱ABOABO中，OO4，OA4，OB3，AOB90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的正切值11.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面AB
4、CD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值能力提升12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.(1)求证：平面ABM平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值13已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，且AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小直线与平面所成角的求法(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过
5、解直角三角形求得(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin |cos |或cos sin .53直线与平面的夹角知识梳理1射影最小2方向向量法向量|cos |作业设计1C2B0，0，即SBSC，SASC，又SBSAS，SC平面SAB，SBC为BC与平面SAB的夹角又SBC60，故BC与平面SAB的夹角为60.3B4AA1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，则()0，MPMN，即PMN90.也可由三垂线定理直接得MPMN.5B当直线l的方向向量与平面的法向量n的夹角n，小于90时，直线l与平面所成的角与之互余6A如图所示，以O为原
6、点建立空间直角坐标系设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.7.解析不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，则，(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.8309.解析在正三棱柱ABCA1B1C1中取AC的中点O，OBAC，则OB
7、平面ACC1A1，BC1O就是BC1与平面AC1的夹角以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B，C1，.cos，.，即BC1与平面ACC1A1的夹角为.10解如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D.设P(3,0，z)，则，(3,0，z)BDOP，4z0，z.P.BB平面AOB，POB是OP与底面AOB所成的角tanPOB，故OP与底面AOB所成角的正切值为.11解由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)(0,0,1)，
8、(1，1,1)显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角90，故有sin |cos |，于是cos .12(1)证明依题设，M在以BD为直径的球面上，则BMPD.因为PA底面ABCD，AB底面ABCD，则PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD，则ABPD，又BMABB.因此有PD平面ABM，又PD平面PCD.所以平面ABM平面PCD.(2)解如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，设平面ABM的一个法向量n(x，y，z)，由n，n可得令z1，则y1，即n(0,1，1)设所求角为，则sin ，故所求的角的正弦值为.13.(1)证明设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)所以(1，1，)，(，0)因为00，所以CMSN.(2)解(，1,0)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则即令x2，得a(2,1，2)因为|cosa，|，所以SN与平面CMN所成的角为45.
