1、03第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影课时过关能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.平行射影是正射影B.正射影是平行射影C.同一个图形的平行射影和正射影相同D.圆的平行射影不可能是圆解析正射影是平行射影的特例,则选项A不正确,选项B正确;对同一个图形,当投影线垂直于投影面时,其平行射影就是正射影,否则不相同,则选项C不正确;当投影线垂直于投影面,且圆面平行于投影面时,圆的平行射影是圆,则选项D不正确.答案B2直线l在平面上的正射影是()A.点B.线段C.直线D.点或直线解析当l时,正射影是一个点,否则是一条直线.答案D3两条相交直线的平行射影是()A.两条相交直线B.一条直线C.一条折线D
2、.两条相交直线或一条直线解析两条相交直线确定一个平面,若这个平面与投影方向不平行,则两条相交直线的平行射影为两条相交直线.若这个平面与投影方向平行,则两条相交直线的平行射影为一条直线.答案D4若一个图形的正射影是一条线段,则这个图形不可能是()A.线段B.圆C.梯形D.长方体解析当线段、圆、梯形所在的平面与投影面垂直时,它们的正射影都是一条线段,很明显长方体的正射影不可能是一条线段.答案D5如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的()解析点D在平面ADD1A1上的正射影是它本身;点M在平面ADD1A
3、1上的正射影是AA1的中点;点N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中点,则阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为选项A中的图形.答案A6在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是()A.四边形ABCDB.线段ABC.ABCD.线段A1B1解析由于平面A1ABB1平面ABCD,则四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是线段AB.答案B7梯形ABCD中,ABCD,若梯形不在平面内,则它在平面上的平行射影是.解析若梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在平面上的平行射影是一条线段.若梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,由于平行线的平行射影仍
4、是平行线,不平行的直线的平行射影仍不平行,则梯形ABCD在平面内的平行射影仍是梯形.答案一条线段或一个梯形8已知AOB=90,关于AOB在平面内的平行射影有如下判断:可能是0的角;可能是锐角;可能是直角;可能是钝角;可能是180的角,其中正确判断的序号是.解析设AOB所在平面为,当与投影方向平行时,AOB在平面内的平行射影为一条射线或一条直线;当与投影方向不平行时,AOB在平面内的平行射影为一个角,并且该角可以是锐角、直角或钝角.因而都对.答案9已知P为ABC外一点,且PA=PB=PC.求证:点P在平面ABC内的射影为ABC的外心.证明如图,过点P作PO平面ABC于点O,连接OA,OB,OC,
5、则点O为点P在平面ABC内的射影.PA=PB,PO=PO,RtPAORtPBO,AO=BO.同理可得BO=CO,AO=BO=CO,点O为ABC的外心,即点P在平面ABC内的射影是ABC的外心.能力提升1下列结论中正确的是()圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的平行射影不可能是圆;平行四边形的平行射影仍然是平行四边形;两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比;圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.A.B.C.D.解析由于平面图形的平行射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了,因而是错误的,是正
6、确的.当平行四边形所在平面平行于投影方向时,平行四边形的平行射影是一条线段,故错误.很明显正确.答案C2已知RtABC的斜边BC在平面内,则ABC的两条直角边在平面内的正射影与斜边组成的图形只能是()A.一条线段B.一个锐角三角形或一条线段C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形解析当顶点A在平面内的正射影A在BC所在直线上时,两条直角边在平面内的正射影是一条线段,与斜边组成的图形是线段,如图.当顶点A在平面内的正射影A不在BC所在直线上时,如图.AA,AAAB,AAAC.ABAB,ACAB2+AC2.AB2+AC2-BC20.BAC为钝角,ABC为钝角三角形.答案D3用平面截圆柱OO,
7、当OO与平面所成的角等于时,截面是一个圆.答案904如图,设C是线段AB上任意一点,点C,A,B分别是点C,A,B沿直线l的方向在平面上的平行射影.若AC=4,CB=6,则ACCB=.解析AAl,BBl,CCl,AABBCC.由平行线分线段成比例定理,得ACCB=ACCB=46=23.答案235如图,已知正四棱锥V-ABCD可绕着AB任意旋转,CD平面.若AB=2,VA=5,则正四棱锥V-ABCD在平面内的投影面积的取值范围是.解析由题意知,侧面上的高为5-1=2,则侧面的面积为1222=2,又由于底面的面积为22=4,当正四棱锥的高平行于平面时面积最小是3,故正四棱锥V-ABCD在平面内的投
8、影面积的取值范围是3,4).答案3,4)6如图,已知DA平面ABC,ABC是斜三角形,点A是点A在平面BCD上的正射影.求证:点A不可能是BCD的垂心.分析直接证明有困难,利用反证法证明.证明假设点A是BCD的垂心,则ABCD.因为AA平面BCD于点A,则ABCD.又因为DA平面ABC,则ABAD,所以AB平面ADC,所以ABAC,这与条件ABC是斜三角形矛盾,故点A不可能是BCD的垂心.7ABC是边长为2的正三角形,BC平面,点A,B,C在的同侧,且点A,B,C在平面内的射影分别为点A,B,C.若ABC为直角三角形,BC与平面间的距离为5,求点A到平面的距离.解由条件可知,AB=AC,BAC=90.设AA=x,在直角梯形AACC中,AC2=4-(5-x)2.由AB2+AC2=BC2,得24-(5-x)2=4,解得x=52.
