1、1.3.2函数的奇偶性（学案）一、学习目标（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性二、自主学习 1.什么是轴对称图形？什么是中心对称图形？2.从对称的角度，观察下列函数的图象：； （3）；（4）三、合作探究 （一）函数的奇偶性定义上面的图象关于y轴对称的函数即是偶函数关于原点对称的函数即是奇函数1偶函数（even function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数2奇函数（odd function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x
2、)，那么f(x)就叫做奇函数注意： （1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质（4）偶函数：, 奇函数：；（5）根据奇偶性可将函数分为四类
3、：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。四、学以致用 例1如图，已知偶函数y=f(x)在y轴右边的一部分图象，根据偶函数的性质，画出它在y轴左边的图象例2：判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=；（4）f(x)=归纳：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x
4、)f(x) = 0，则f(x)是奇函数例3：已知f(x)是奇函数，在(0，)上是增函数，证明：f(x)在(，0)上也是增函数解：任取，使得 ，则 由于f(x) 在(0，)上是增函数，所以 又由于f(x)是奇函数，所以和 由上得 即，所以，f(x)在(，0)上也是增函数结论：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 五、自主小测 1.根据定义判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3） （）； （4）f(x)=0 （）2.若函数f(x)的图象关于原点对称且在x=0处有定义，则f(0)=_。（答：0）3.若函数y=f(x) (xR) 为偶函数，则下列坐标表示的
5、点一定在函数y=f(x)的图象上的是（ C ）。（A）(a, -f(a) (B) (-a, -f(-a) (C) (-a, f(a) (D) (-a, -f(a)4.已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且与x轴有四个不同的交点，则方程f(x)=0的所有实根的和为（D）。（A）4 （B）2 （C）1 （D）05.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间-7,-3上是（B）。（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5（C）减函数且最小值为-5 （D）减函数且最大值为-56.已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)=x(1+x)；求当x 0时，函数f(x)的解析式解：设x 0，有f(x)= x 1+(x)由f(x)是偶函数，则f(x)=f(x)，所以f(x) = x 1+(x)= x(x1)
