1、高考解答题突破(二)数列的综合应用突破“两归”化归、归纳1由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函数问题，或通过对式子的改造，使其化归为可运用数列问题的基本方法2对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明考向一等差、等比数列的证明证明数列是等差(比)数列的两种基本方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；q(q是非零常数)an是等比数列(2)等差(比)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*，an0)an是等
2、比数列解(1)由题意知，2Sn(n1)2ann2an1，2Sn1(n2)2an1(n1)2an2，(2)由题意知，bnbn12an22n，bn1bn22an122(n1)，两式相除，可得bn24bn，即b2n和b2n1都是以4为公比的等比数列b1b22a14，b11，b24，b34b14，b2n24n122n1，b2n122n2，即bn2n1，则bn12bn，因此存在，使得数列bn是等比数列巧造等差或等比判定方法(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；(3)
3、aan1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.1(2019常州一模)已知n为正整数，数列an满足an0,4(n1)ana0，设数列bn满足bn.(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列bn是等差数列，求实数t的值解(1)证明：数列an满足an0,4(n1)ana0，2anan1.即.数列是以2为公比的等比数列(2)由(1)可得a12n1，ana4n1.bn，b1，b2，b3.数列bn是等差数列，2.a，即16tt248，解得t12或t4.经检验，当t12时，b2，b3，b4不成等差数列，故舍去当t4时，bn，数列bn为
4、等差数列，所以t的值为4.考向二数列的通项与求和1求数列的通项公式的方法(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知an与Sn间关系式时适合用an求得；(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得2求数列的前n项和的方法结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法解(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，求解数列通项和前n项和的关键步骤2(2019南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列an中，a12
5、，且2a1，a3,3a2成等差数列(1)求等比数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn(n2)log2an，求数列的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，且q0，2a1，a3,3a2成等差数列，2a13a22a3，即2a13a1q2a1q2，化简得2q23q20，解得q2或q.q0，q2.a12，数列an的通项公式ana1qn12n，nN*.(2)bn(n2)log2ann(n2)，Tn.考向三数列与不等式的综合应用数列与不等式的综合问题主要体现在以下三方面：(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数列对应函数的单调性比较大小，还可以作差或作商比较大
6、小；(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题，此类问题常通过构造函数证明，或者直接利用放缩法证明解(1)4Snanan1，nN*，4a1a1a2，又a12，a24.当n2时，4Sn1an1an，得4ananan1an1an.即a2，a4，a2k是首项为4，公差为4的等差数列，a2k4(k1)44k22k；当n2k，kN*时，a2k1a2k14，即a1，a3，a2k1是首项为2，公差为4的等差数列，Tn. “算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想，利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质等差数列与等比数列是数列
7、中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列审题时应注意归纳法的运用，要看清项及下标的特征，要注意下标的范围3(2019长春模拟)已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S414，且a1，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn为数列的前n项和，若Tnan1对一切nN*恒成立，求实数的最大值解(1)设数列an的公差为d(d0)，由已知得，解得或(舍去)，所以ann1.(2)由(1)知，所以Tn.又Tnan1恒成立，所以28，而2816，当且仅当n2时等号成立所以16，即实数的最大值为16.专题强化训练(十六
8、)1(2019安徽六安3月联考)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，SaSn1，其中为常数(1)证明：Sn12Sn；(2)是否存在实数，使得数列an为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解(1)证明：an1Sn1Sn，SaSn1，S(Sn1Sn)2Sn1，Sn1(Sn12Sn)0，an0，Sn10，Sn12Sn0，Sn12Sn.(2)存在Sn12Sn，Sn2Sn1(n2)，相减得an12an(n2)，an从第二项起成等比数列，S22S1，即a2a12a1，a210，得1，an若使an是等比数列，则a1a3a，2(1)(1)2，1，经检验，符合题意故存在实数，使得数列an为等
9、比数列，的值为1.2(2019江西宜春联考)设Sn是数列an的前n项和，已知a13，an12Sn3(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n2时，由an12Sn3，得an2Sn13，两式相减，得an1an2Sn2Sn12an，an13an，3.当n1时，a13，a22S132a139，则3.数列an是以3为首项，3为公比的等比数列an33n13n.(2)由(1)，得bn(2n1)an(2n1)3n.Tn13332533(2n1)3n，3Tn132333534(2n1)3n1，得2Tn1323223323n(2n1)3n132(323
10、33n)(2n1)3n132(2n1)3n16(2n2)3n1.Tn(n1)3n13.3(2019广东汕头模拟)已知数列an为递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Sna2Sn11(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，其前n项和为Tn，若Tn成立，求n的最小值解(1)由2Sna2Sn11知，2Sn1a2Sn21(n3)，两式相减得，2anaa2an1，即2(anan1)(anan1)(anan1)，又数列an为递增数列，a11，anan10，anan12(n3)，又当n2时，2(a1a2)a2a11，即a2a230，解得a23或a21(舍)，a2a12，符合anan1
11、2，an是以1为首项，以2为公差的等差数列，an1(n1)22n1(nN*)(2)bn，Tn，又Tn，即，解得n9，又nN*，n的最小值为10.4(2019杭州模拟)下表是一个由n2个正数组成的数表，用aij表示第i行第j个数(i，jN*)已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等，且a111，a31a619，a3548.a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3n an1an2an3ann(1)求an1和a4n；(2)设bn(1)nan1(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d，设每一行依次组成的等比数列的公比为q.依题意a31a61(12d)(15d)9，d1，an1a11(n1)d1(n1)1n(nN*)，a31a112d3，a35a31q43q448，q0，q2，又a414，a4na41qn142n12n1(nN*)(2)bn(1)nan1(1)nn(1)nn(1)nn，Sn12345(1)nn，当n为偶数时，Sn1，当n为奇数时，Sn1n1.
