1、3.1角的概念及任意角的三角函数1角的概念(1)任意角：定义：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1
2、rad，1 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)角终边上点
3、P的坐标为(，)，那么sin ，cos ；同理角终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么sin y0，cos x0.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)终边相同的角的同一三角函数值相等()(4)点P(tan ，cos )在第三象限，则角终边在第二象限()(5)(0，)，则tan sin .()(6)为第一象限角，则sin cos 1.()1角870的终边所在的象限是第_象限答案三解析由8701 080210，知870角和210角终边相同，在第三象限2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是_答案解析设圆的半径为r，则sin 1，r，2弧度的圆心角所对弧长为2r.3已
4、知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.答案8解析因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.4函数y的定义域为_答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)题型一角及其表示例1(1)终边在直线yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角，那么角2的终边落在_答案(1)|k，kZ(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上解析(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(2)2k2k，kZ，4k224k3，kZ.角2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半
5、轴上思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限(1)在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是_(填序号)第一象限中的角一定是锐角；终边相同的角必相等；相等的角终边一定相同；不相等的角终边一定不同(2)已知角45，在区间720，0内与角有相同终边的角_.答案(1)(2)675或315解析(1)第一象限角是满足2k2k，kZ的角，当k
6、0时，它都不是锐角，与角终边相同的角是2k，kZ；当k0时，它们都与不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同(2)由终边相同的角关系知k36045，kZ，取k2，1，得675或315.题型二三角函数的概念例2(1)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.(2)若sin tan 0，且0，则角是第_象限角思维点拨(1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求值(2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断答案(1)(2)三解析(1)取终边
7、上一点(a,2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ，故cos 22cos21.(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而角为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，从而角为第三或第四象限角，故角为第三象限角思维升华(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(1)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_(2)若是第二象限角，则_0
8、.(判断大小)答案(1)(2)0，即m.(2)是第二象限角，1cos 0,0sin 1，sin(cos )0，0)，所在圆的半径为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维点拨(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于的函数解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则60，R10，l10 (cm)，S弓S扇S10102sin 50 (cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇R22.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.思维升华涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度
9、表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示弧长和扇形面积公式：l|R，S|R2.已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_答案1 cm21 cm2解析设扇形圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形|r22rr2(r1)21，当r1时，(S扇形)max1，此时|2.数形结合思想在三角函数中的应用典例：(1)函数y 的定义域为_(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为_
10、思维点拨(1)求函数定义域可转化为解不等式sin x，利用三角函数线可直观清晰地得出角x的范围(2)点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系解析(1)sin x，作直线y交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为x|2kx2k，kZ(2)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以PBsin(2)cos 2，CBcos(2)sin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB
11、1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)答案(1)2k，2k, kZ(2)(2sin 2,1cos 2)温馨提醒(1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系.方法与技巧1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点OPr一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧失误与防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90
12、的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.A组专项基础训练(时间：40分钟)1角的终边过点P(1,2)，则sin _.答案解析由三角函数的定义，得sin .2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为_答案解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，.3已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为_答案解析因为sin xcos，cos xsin，所以x2k
13、(kZ)，故当k1时，x，即角x的最小正值为.4若是第三象限角，则y的值为_答案0解析是第三象限角，2k2k(kZ)，kk(kZ)，角在第二象限或第四象限当在第二象限时，y0，当在第四象限时，y0，综上，y0.5已知角的终边与480角的终边关于x轴对称，点P(x，y)在角的终边上(不是原点)，则的值等于_答案解析由题意知角的终边与240角的终边相同，又P(x，y)在角的终边上，tan tan 240，于是.6设为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos m，则sin 的值为_答案解析设P(m，)到原点O的距离为r，则cos m，r2，sin .7如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终
14、边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _.答案解析由题意及图，易知A点的横坐标为，所以cos .8函数y 的定义域是_答案(kZ)解析由题意知即x的取值范围为2kx2k，kZ.9已知角的终边经过点P(，m) (m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意，得r，所以sin m.因为m0，所以m，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .10已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若
15、扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积解(1)60，l10(cm)(2)由已知得，l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5时，S取得最大值25，此时l10，2.(3)设弓形面积为S弓由题知lcm，S弓S扇形S三角形2222sin()(cm2)B组专项能力提升(时间：20分钟)1若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为_cm2.答案80解析72，S扇形r220280(cm2)2已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为_答案1解析由2k(kZ)及终边相同的概念
16、知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.3在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，1)，将OA绕O逆时针旋转450到B点，则B点的坐标为_答案(1，)解析设B(x，y)，由题意知OAOB2，BOx60，且点B在第一象限，x2cos 601，y2sin 60，B点的坐标为(1，)4设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：MPOM0；OM0MP；OMMP0；MP0OM.其中正确的是_答案解析角在第二象限，OM0，正确5如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长解设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则tt|2.所以t4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在4的位置，则xCcos42，yCsin42.所以C点的坐标为(2，2)P点走过的弧长为4，Q点走过的弧长为4.
