1、邵东创新学校2018届高考第五次月考试题 文 科 数 学 命题：曾智波一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1设集合A=1，2，4，B=x|x24x+m=0若AB=1，则B=（）A1，3 B1，0 C1，3 D1，52若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）Aabc Bbca Cacb Dcab3设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z1=；p4：若复数zR，则R其中的真命题为（）Ap1，p3 Bp1，p4
2、Cp2，p3 Dp2，p44设R，则“|”是“sin”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知函数y=Asin（x+）在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值2，那么函数的解析式为（）A BCy=2sin(3x-D6记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（）A1 B2 C4 D87 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A B C D8已知向量，的夹角为60，|=|=2，若=2+，则
3、ABC为（）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形9数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题.数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S=，现有周长为10+2的ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（）ABCD1210在ABC中，a，b
4、，c分别是角A，B，C的对边，若（bc）sinB+csinC=asinA，则sinA=（）A B C D11已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f（x），当x（，0时，恒有xf（x）f（x），则满足的实数x取值范围是（）A（1，2）B（1，）C（，2）D（2，1）12设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”已知f（x）=x4mx3x2，若对任意的实数m满足|m|2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则ba的最大值为（）A4 B3 C
5、2 D1二填空题（共4小题，每题5分）13已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（2， 0），O为原点，则的最大值为 14设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为 15若，且sinsin0，则下列关系式：；+0；22；22其中正确的序号是： 16若对任意的xD，均有g（x）f（x）h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”已知函数f（x）=kx，g（x）=x22x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间1，e上的“任性函数”，则实数k的取值范围是 三解答题（共6小题，合计
6、70分）17设向量，满足|=|=1及|32|=（）求，夹角的大小；（）求|3+|的值18已知函数f（x）=Asin（x+），过点（，0）和（，1），xR（其中A0，0，），其部分图象如图所示（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值19已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=（I）求b的值；（II）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围20已知数列an中，a2=2，前n项和为（I）证明数列an+1an是等差数列，并求出数列an的通项公式；（II）设，数列bn的前n项和为Tn，求使不等式对一切nN*都成立的最大正整数k的值21如图几何体中，四边形
7、ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2（）证明：AF面BDG；（）证明：面BGM面BFC；（）求三棱锥FBMC的体积V22已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（）求a；（）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22参考答案与试题解析 一选择题（共12小题，每题5分）1设集合A=1，2，4，B=x|x24x+m=0若AB=1，则B=（ ）A1，3B1，0C1，3D1，5【解答】解：集合A=1，2，4，B=x|x24x+m=0若AB=1，则1A且1B，可得14+m=0，解得m=
8、3，即有B=x|x24x+3=0=1，3故选：C 2若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（ ）AabcBbcaCacbDcab【解答】解：a=log20.50，b=20.51，0c=0.521，则acb，则选：C 3设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z1=；p4：若复数zR，则R其中的真命题为（ ）Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4【解答】解：若复数z满足R，则zR，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=1R，则zR，故命题p2为假命题；p3：
9、若复数z1=i，z2=2i满足z1z2R，但z1，故命题p3为假命题；p4：若复数zR，则=zR，故命题p4为真命题故选：B 4设R，则“|”是“sin”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：|0，sin+2k+2k，kZ，则（0，）+2k，+2k，kZ，可得“|”是“sin”的充分不必要条件故选：A 5已知函数y=Asin（x+）在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值2，那么函数的解析式为（ ）ABCD【解答】解：依题意可知T=2（0）=3，根据最大和最小值可知A=2把x=0代入解析式得2sin=2，=故函数的解析式为y=2sin（
10、3x）故选C 6记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（ ）A1B2C4D8【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a5=24，S6=48，解得a1=2，d=4，an的公差为4故选：C 7 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）ABCD【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，V=2= 加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，此长方体底面边长为n的正方形，高为x，根据轴截面图得出：=，解得；n=（1），0x2
11、，长方体的体积=2（1）2x，=x24x+2，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，最大值=2（1）2=，原工件材料的利用率为=，故选：A8已知向量，的夹角为60，|=|=2，若=2+，则ABC为（ ）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【解答】解：根据题意，由=2+，可得=2，则|=2|=4，由=，可得|2=|2=22+2=4，故|=2，由=（2+）=+，则|2=|+|2=2+2+2=12，可得|=2；在ABC中，由|=4，|=2，|=2，可得|2=|2+|2，则ABC为直角三角形；故选C9数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全
12、书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S=，现有周长为10+2的ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（ ）ABCD12【解答】解：sinA：sinB：sinC=2：3：，则a：b：c=2：3：，ABC周长为10+2，即a+b+c=10+2，a=4，b=6，c
13、=2，所以S=6，故选：A 10在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（bc）sinB+csinC=asinA，则sinA=（ ）ABCD【解答】解：已知等式（bc）sinB+csinC=asinA，利用正弦定理化简得：（bc）b+c2=a2，b2+c2a2=bc，cosA=，sinA=，故选B11已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f（x），当x（，0时，恒有xf（x）f（x），则满足的实数x的取值范围是（ ）A（1，2）B（1，）C（，2）D（2，1）【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=f（x）由xf（x）f（x）可得xf（x）+f（x）0，即xf（x）
14、0当x（，0时，恒有xf（x）f（x），当x（，0时，恒有xf（x）0设F（x）=xf（x）则函数F（x）=xf（x）为（，0上的减函数F（x）=（x）f（x）=（x）（f（x）=xf（x）=F（x）函数F（x）为R上的偶函数函数F（x）=xf（x）为0，+）上的增函数（2x1）f（2x1）3f（3）F（2x1）F（3）|2x1|3解得1x2故选A 12设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”已知f（x）=x4mx3x2，若对任意的实数m满足|m|2
15、时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则ba的最大值为（ ）A4B3C2D1【解答】解：根据已知，|m|2时，f（x）=x2mx30在（a，b）上恒成立；mxx23恒成立；（1）当x=0时，f（x）=30显然成立；（2）当x0时，；m的最小值为2；解得0x1；（3）当x0时，m；m的最大值为2；解得1x0；综上可得1x1；ba的最大值为1（1）=2故选C二填空题（共4小题，每题5分）13已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（2，0），O为原点，则的最大值为 6 【解答】解：设P（cos，sin）.=（2，0），=（cos+2，sin）则=2（cos+2）6，当且仅当cos=1时
16、取等号故答案为：6 14设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为 （3，+） 【解答】解：数列an是单调递增数列，nN*，an+1an，（n+1）2+b（n+1）n2+bn，化为：b（2n+1），数列（2n+1）是单调递减数列，n=1，（2n+1）取得最大值3，b3即实数b的取值范围为（3，+）故答案为：（3，+）15若，且sinsin0，则下列关系式：；+0；22；22其中正确的序号是： 【解答】解：令f（x）=xsinx，x，f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），f（x）=xsinx，x，为偶函数又f（x）=sinx+xcosx，当x
17、0，f（x）0，即f（x）=xsinx在x0，单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x，0单调递减；当0|时，f（）f（），即sinsin0，反之也成立，22故答案为16若对任意的xD，均有g（x）f（x）h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”已知函数f（x）=kx，g（x）=x22x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间1，e上的“任性函数”，则实数k的取值范围是 e2，2 【解答】解：若f（x）是g（x）到h（x）在区间1，e上的“任性函数”，则x1，e时，恒成立，即恒成立，即恒成立，若kx2在区间1，
18、e上恒成立，则ke2； 令，若在区间1，e上恒成立，则kv（x）min，令u（x）=xlnx，则u（x）=1，当x1，e时，u（x）0恒成立，则u（x）=xlnx在1，e上为增函数，u（x）u（1）=1恒成立，即0恒成立，故在1，e上为增函数，v（x）v（1）=2恒成立，故k2，综上可得：ke2，2，故答案为：e2，2三解答题（共6小题，合计70分）17设向量，满足|=|=1及|32|=（）求，夹角的大小； （）求|3+|的值【解答】解：（）设与夹角为，向量，满足|=|=1及|32|=，91+411211cos=7，又0，与夹角为（）= 18已知函数f（x）=Asin（x+），xR（其中A0，
19、0，），其部分图象如图所示（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值 【解答】解：（I）由图可知，A=1（1分），所以T=2（2分）所以=1（3分）又，且所以（5分）所以（6分）（II）由（I），所以=（8分）=cosxsinx（9分）=（10分）因为，所以2x0，sin2x0，1故：，当时，g（x）取得最大值（13分）19已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=（1）求b的值；（2）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围【解答】解：（1）ABC中，+=，+=，=，解得b=；（2）cosB+sinB=2，cosB=2sinB，sin2B+cos
20、2B=sin2B+=4sin2B4sinB+4=1，4sin2B4sinB+3=0，解得sinB=；从而求得cosB=，B=；由正弦定理得=1，a=sinA，c=sinC；由A+B+C=得A+C=，C=A，且0A；a+c=sinA+sinC=sinA+sin（A）=sinA+sincosAcossinA=sinA+cosA=sin（A+），0A，A+，sin（A+）1，sin（A+），a+c的取值范围是（， 20已知数列an中，a2=2，前n项和为（I）证明数列an+1an是等差数列，并求出数列an的通项公式；（II）设，数列bn的前n项和为Tn，求使不等式对一切nN*都成立的最大正整数k的值
21、【解答】解：（I）由题意，当a2=2，则a2a1=1当，则，则（n1）an+12（n1）an+（n1）an1=0，即an+12an+an1=0，即an+1an=anan1则数列an+1an是首项为1，公差为0的等差数列（6分）从而anan1=1，则数列an是首项为1，公差为1的等差数列所以，an=n（nN*）（8分）（II）（10分）所以，=（12分）由于因此Tn单调递增，故Tn的最小值为（14分）令，所以k的最大值为18（16分） 21如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EFAB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2（）证明
22、：AF面BDG；（）证明：面BGM面BFC；（）求三棱锥FBMC的体积V 【解答】解：（）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG点G为CF中点，OG为AFC的中位线OGAF，AF面BDG，OG面BDG，AF面BDG，（）连接FM，BF=CF=BC=2，G为CF的中点，BGCFCM=2，DM=4EFAB，ABCD为矩形，EFDM，又EF=4，EFMD为平行四边形FM=ED=2，FCM为正三角形，MGCF，MGBG=G，CF面BGM，CF面BFC，面BGM面BFC（），三棱锥FBMC的体积V= 22已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一
23、的极大值点x0，且e2f（x0）22【解答】（1）解：因为f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）=axalnx0，求导可知h（x）=a则当a0时h（x）0，即y=h（x）在（0，+）上单调递减，所以当x01时，h（x0）h（1）=0，矛盾，故a0因为当0x时h（x）0、当x时h（x）0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=aaln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2xxlnx，f（x）=2x2lnx，令f（x）=0，可得2x2lnx=0，记t（x）=2x2lnx，则t（x）=2，令t（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln210，从而t（x）=0有解，即f（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx0=0，所以f（x0）=x0x0lnx0=x0+2x02=x0，由x0可知f（x0）（x0）max=+=；由f（）0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22
