1、第 2 课时 直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系(师生共研)已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x24y221.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有且只有一个公共点；(2)没有公共点【解】将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组y2xm，x24y221，将代入，整理得 9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当 0，即 m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(2)当 0，即 m3 2时，方程没有实数根，可知原方
2、程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程(3)当 0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当 0 时，直线与椭圆相离 不论 k 为何值，直线 ykx1 与焦点在 x 轴上的椭圆x27y2m1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是()A(0，1)B(0，7)C1，7)D(1，7解析：选 C.直线 ykx1 恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆x27y2m1 上或其内部，所以有1m1，得 m1.又椭圆x27y2m1 的焦点在 x 轴上，所以 m7.综上，1m7.弦长问
3、题(师生共研)已知椭圆 C：x24y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，若斜率为1 的直线 l 与以线段 F1F2 为直径的圆相交于 A，B 两点，与椭圆相交于 C，D，且|CD|AB|8 37，求出直线 l的方程【解】设直线 l 的方程为 yxm，由题意知 F1，F2 的坐标分别为(1，0)，(1，0)，所以以线段 F1F2 为直径的圆为 x2y21，由题意知圆心(0，0)到直线 l 的距离 d|m|2 1，得|m|0，解得 m27，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1x28m7，x1x24m2127，|CD|2|x1x2|28m7244m2127 233648m2494 6
4、7 7m28 37|AB|8 37 2 2m2，解得 m213b0)上，则椭圆 C的方程为；若直线 y12x 交椭圆 C 于 M，N 两点，则|MN|解析：由题意可知，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点在 x 轴上，由点 A(2，0)，B(0，1)在椭圆上，则 a2，b1，所以椭圆的标准方程为x24y21.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x24y21，y12x，消去 y，整理得 2x24，则 x1 2，x2 2，y1 22，y2 22，则|MN|（2 2）222 222 10.答案：x24y21 10 中点弦问题(师生共研)(一题多解)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab
5、0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 Dx218y291【解析】通解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得x21a2y21b21，x22a2y22b21，得x21x22a2y21y22b20，所以x1x2a2y1y2x1x2y1y2b20.因为 x1x22，y1y22，kAB1013 12，所以2a2122b2 0，即 a22b2.又 c3 a2b2，所以 a218，b29.所以椭圆 E 的方程为x218y291.优解：由题
6、意可得a2b29，0（1）31（1）b2a2，解得 a218，b29，所以椭圆 E 的方程为x218y291.【答案】D中点弦的重要结论AB 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)(1)斜率：kb2x0a2y0；(2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值b2a2.已知椭圆：y29x21，过点 P12，12 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50解析：选 B.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为
7、A，B 在椭圆y29x21 上，所以y219x211，y229x221，两式相减得y21y229x21x220，即（y1y2）（y1y2）9(x1x2)(x1x2)0，又弦 AB 被点P12，12 平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式得y1y29x1x20，即y1y2x1x29，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为 y129x12，即 9xy50.椭圆与向量的综合问题(师生共研)(1)已知点 F1，F2 是椭圆 C：x24y21 的焦点，点 M 在椭圆 C 上且满足|MF1 MF2|2 3，O 为坐标原点，则MF1F2 的面积为()A.33B.32C2 D1(2)(2
8、020石家庄质量检测(二)倾斜角为4的直线经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F，与椭圆交于 A、B 两点，且AF2FB，则该椭圆的离心率为()A.32B.23C.22D 33【解析】(1)|MF1 MF2|2|MO|2 3，所以|MO|3c，所以 MF1MF2，|MF1|2|MF2|24c212，|MF1|MF2|2a4，解得|MF1|MF2|2，所以三角形的面积 S12|MF1|MF2|1.(2)由题可知，直线的方程为 yxc，与椭圆方程联立得x2a2y2b21yxc，所以(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(x1，y1)，B
9、(x2，y2)，则y1y22b2ca2b2y1y2 b4a2b2，又AF2FB，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得y22b2ca2b22y22 b4a2b2，所以12 4c2a2b2，所以 e 23，故选 B.【答案】(1)D(2)B解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题 已知 F1，F2 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF1 BF2 14F1F2 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.
10、0，12B.0，22C.0，33D12，1解析：选 C.根据题意不妨设 B(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，因为BF1 BF2 14F1F2 2，所以 b22c2，又因为 b2a2c2，所以 a23c2，所以 0ca 33.核心素养系列 18 数学运算“设而不求”求解直线与椭圆的问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学已知椭圆x22y21，则斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程为【解析】设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 P(x0，y0)，则有x212y211，x222y221.两式作
11、差，得（x2x1）（x2x1）2(y2y1)(y2y1)0.因为 x1x22x0，y1y22y0，y2y1x2x1kAB，代入后求得 kAB x02y0.即 2 x02y0，所以 x04y00.故所求的轨迹方程为 x4y0，将 x4y0 代入x22y21 得x22x421，解得 x43，又中点在椭圆内，所以43x43.【答案】x4y043x0，x1x2 8k24k21，所以x1x22 4k24k2112，即 k214，所以 k12.答案：12基础题组练1直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则 m 的取值范围是()A(1，)B(1，3)(3，)C(3，)D(0，3)(3，)解析：选
12、 B.由yx2，x2my231，得(m3)x24mxm0.由 0 且 m3 及 m0 得 m1 且m3.2设直线 ykx 与椭圆x24y231 相交于 A，B 两点，分别过 A，B 两点向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 k 等于()A32B23C12D2解析：选 A.由题意可知，点 A 与点 B 的横坐标即为焦点的横坐标，又 c1，当 k0 时，不妨设 A，B 两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得 y132，y232，解得k32；同理可得当 kb0)与直线 yx3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆 C 的方程为()A.4x225y251 B.x2
13、5y241C.x29y251 Dx225y2201解析：选 B.将直线方程 yx3 代入 C 的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得 a2b29.又由椭圆的离心率为 55，所以ca a2b2a 55，则b2a245，解得 a25，b24，所以椭圆的方程为x25y241.5直线 l 过椭圆x22y21 的左焦点 F，且与椭圆交于 P，Q 两点，M 为 PQ 的中点，O为原点，若FMO 是以 OF 为底边的等腰三角形，则直线 l 的斜率为()A.22B 22C 32D 32解析：选 B.由x22y
14、21，得 a22，b21，所以 c2a2b2211，则 c1，则左焦点 F(1，0)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不等于 0，设直线 l 的方程为 ykxk.设 l 与椭圆交于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x22y21，ykxk得(2k21)x24k2x2k220.则 PQ 的中点 M 的横坐标为x1x22 2k22k21.因为FMO 是以 OF 为底边的等腰三角形，所以 2k22k2112，解得 k 22.6已知椭圆y2a2x2b21(ab0)的右顶点为 A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，则椭圆方程为解析：因为椭圆y2a2x2b21 的右顶点为 A(1，0)，
15、所以 b1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，所以2b2a 1，a2，所以椭圆方程为y24x21.答案：y24x217已知椭圆x22y21 与直线 yxm 交于 A，B 两点，且|AB|4 23，则实数 m 的值为解析：由x22y21，yxm消去 y 并整理，得 3x24mx2m220.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24m3，x1x22m223.由题意，得 2（x1x2）28x1x24 23，解得 m1.答案：18已知椭圆的方程是 x22y240，则以 M(1，1)为中点的弦所在的直线方程是解析：由题意知，以 M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在
16、，设其方程为 ykxb，则有 kb1，即 b1k，即 ykx(1k)，联立方程组x22y240，ykx（1k），则有(12k2)x2(4k4k2)x(2k24k2)0，所以x1x22124k24k12k2 1，解得 k12(满足 0)，故 b32，所以 y12x32，即 x2y30.答案：x2y309已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，焦距为 2 2，过点 D(1，0)且不过点E(2，1)的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 MB 的斜率解：(1)由题意可得 2
17、c2 2，即 c 2，又 eca 63，解得 a 3，b a2c21，所以椭圆的方程为x23y21.(2)由直线 l 过点 D(1，0)且垂直于 x 轴，设 A(1，y1)，B(1，y1)，则 AE 的方程为 y1(1y1)(x2)令 x3，可得 M(3，2y1)，所以直线 BM 的斜率 kBM2y1（y1）311.10设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N
18、|，求 a，b 的值解：(1)根据 c a2b2及题设知 Mc，b2a，b2a2c34，2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故 C 的离心率为12.(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1 的中点故b2a 4，即 b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1b0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是解析：设 P(x，y)，则PF1 PF2(cx，y)(cx，y)x2c2y2c
19、2，将 y2b2b2a2x2 代入式解得 x2（2c2b2）a2c2（3c2a2）a2c2，又 x20，a2，所以 2c2a23c2，所以 eca33，22.答案：33，223(2019高考天津卷)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55.(1)求椭圆的方程；(2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N在 y 轴的负半轴上若|ON|OF|(O 为原点)，且 OPMN，求直线 PB 的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b4，ca 55，又 a2b2c2，可得 a 5，b2
20、，c1.所以椭圆的方程为x25y241.(2)由题意，设 P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线 PB 的斜率为 k(k0)，又 B(0，2)，则直线 PB 的方程为 ykx2，与椭圆方程联立得ykx2，x25y241，整理得(45k2)x220kx0，可得 xP 20k45k2，代入 ykx2 得 yP810k245k2，进而直线 OP 的斜率yPxP45k210k，在 ykx2 中，令 y0，得 xM2k.由题意得 N(0，1)，所以直线 MN 的斜率为k2.由 OPMN，得45k210kk2 1，化简得 k2245，从而 k2 305.所以直线 PB 的斜率为2 305或2 3
21、05.4已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右两个焦点，|F1F2|4，长轴长为 6，又 A，B 分别是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且满足AF1 2BF2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求四边形 ABF2F1 的面积解：(1)由题意知 2a6，2c4，所以 a3，c2，所以 b2a2c25，所以椭圆 C 的方程为x29y251.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，又 F1(2，0)，F2(2，0)，所以AF1(2x1，y1)，BF2(2x2，y2)，由AF1 2BF2，得 x122(x22)，y12y2.延长 AB 交 x 轴于 H，因为AF1 2BF2，所以 AF1BF2，且|AF1|2|BF2|.所以线段 BF2 为AF1H 的中位线，即 F2 为线段 F1H 的中点，所以 H(6，0)设直线 AB 的方程为 xmy6，代入椭圆方程，得 5(my6)29y245，即(5m29)y260my1350.所以 y1y2 60m5m293y2，y1y2 1355m292y22，消去 y2，得 m292325，结合题意知 m9 35.S 四边形 ABF2F1SAF1HSBF2H12|F1H|y112|F2H|y24y12y28y22y26y2 120m5m2915 34.
