1、2015年山东省菏泽市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集U=R，集合A=x|（）x2，B=y|y=lg（x2+1），则（UA）B=（） A x|x1或x0 B （x，y）|x1，y0 C x|x0 D x|x1【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 计算题【分析】： 由全集U=R，集合=x|x1，得到CUA=x|x1，再由B=y|y=lg（x2+1）=y|y0，能求出（CUA）B【解析】： 解：全集U=R，集合=x|x1，CUA=x|x1，B=y|y=lg（x2+1）=y|y0，（CU
2、A）B=x|x|x0故选C【点评】： 本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（） A B C D 【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】： 解：由z（1+3i）=i，得，z的虚部为故选：A【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（） A x+y=2 B x+y2 C x2+y22
3、 D xy1【考点】： 充要条件【分析】： 先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件【解析】： 解：若时有x+y2但反之不成立，例如当x=3，y=10满足x+y2当不满足所以是x+y2的充分不必要条件所以x+y2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件故选B【点评】： 本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例4（5分）已知数列an中，a1=1，an+1=an+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（） A n8？ B n9？ C n10？ D n11？【考点】：
4、 循环结构【专题】： 阅读型【分析】： n=1，满足条件，执行循环体，S=2，依此类推，当n=10，不满足条件，退出循环体，从而得到循环满足的条件【解析】： 解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n9，故选B【点评】： 本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题5（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线
5、的离心率等于（） A B C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率【解析】： 解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直双曲线的渐近线方程为y=3x=3，得b2=9a2，c2a2=9a2，此时，离心率e=故选：C【点评】： 本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题6（5分）定义：|=a1a4a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移
6、m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（） A B C D 【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由题意可得解析式f（x）=2sin（x），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m），由m=k+，kZ，即可求m的最小值【解析】： 解：由题意可得：f（x）=sinxcosx=2sin（x），将其图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m=k+，kZ，故解得：m（m0）的最小值是故选：B【点评】： 本题主要考查了
7、函数y=Asin（x+）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查7（5分）已知函数f（x）=，则y=f（2x）的大致图象是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 先由f（x）的函数表达式得出函数f（2x）的函数表达式，由函数表达式易得答案【解析】： 解：函数f（x）=，则y=f（2x）=，故函数f（2x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A【点评】： 本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑8（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（） A B C D 7【考点】： 由三
8、视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案【解析】： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：222=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：111=，故几何体的体积V=8=，故选：A【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5分）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大
9、值的概率为（） A B C D 【考点】： 几何概型；简单线性规划【专题】： 应用题；概率与统计【分析】： 利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率【解析】： 解：画出不等式组表示的平面区域，函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值，直线z=2ax+by的斜率k=1，即2ab一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有66=36个其中2ab的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，
10、4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值的概率为 =故选：D【点评】： 本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题10（5分）已知M是ABC内的一点（不含边界），且=2，BAC=30若MBC，MAB，MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=+，则f（x，y，z）的最小值为（） A 26 B 32 C
11、 36 D 48【考点】： 函数的最值及其几何意义【专题】： 综合题；不等式的解法及应用【分析】： 先由条件求得ABAC=4，再由SABC=ABACsin30=1，可得x+y+z=1 再由f（x，y，z）=+=（+）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值【解析】： 解：=2，BAC=30，ABACcos30=2，ABAC=4SABC=ABACsin30=1=x+y+zf（x，y，z）=+=（+）（x+y+z）=1+4+9+14+4+6+12=36，即f（x，y，z）=+的最小值为36，故选：C【点评】： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题二、填空题：本大题共
12、5小题，每小题5分，共25分11（5分）已知向量和，其中，且，则向量和的夹角是【考点】： 数量积表示两个向量的夹角【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角【解析】： 解：设向量和的夹角是，则，且，=2=22coscos=0，=故答案为：【点评】： 本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题12（5分）在各项为正数的等比数列an中，若a6=a5+2a4，则公比q=2【考点】： 等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4，列出关于q的方程，由各项为正数求
13、出q的值【解析】： 解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2q2=0，解得q=2或q=1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2【点评】： 本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题13（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间001，300的人做问卷A，编号落入区间301，495的人做问卷B，编号落入区间496，600的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8【考点】： 系统抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】：
14、从600人中抽取50人做问卷调查，=12即每12人中抽取1人做问卷调查，可知：按3+12k（kN*）抽取可得：在区间496，600抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+122，507+127，即可得出【解析】： 解：从600人中抽取50人做问卷调查，=12即每12人中抽取1人做问卷调查，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，则以后按3+12k（kN*）抽取31241=495，在区间496，600抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+122，507+127，因此编号落入区间496，600的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8故答案为：8【
15、点评】： 本题考查了系统抽样的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）已知对于任意的xR，不等式|x3|+|xa|5恒成立，则实数a的取值范围是（8，+）（，2）【考点】： 绝对值不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 根据绝对值不等式的性质求得|x3|+|xa|的最小值为|a3|，由|a3|5，求得a的范围【解析】： 解：|x3|+|xa|（x3）（xa）|=|a3|，即|x3|+|xa|的最小值为|a3|，|a3|5，a35，或 a35，解得a8，或a2，故答案为：（8，+）（，2）【点评】： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，
16、属于中档题15（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=，且当x1，0时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是5，+）【考点】： 抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系【专题】： 综合题；函数的性质及应用【分析】： 根据f（x+1）=，可得f（x）是周期为2的周期函数 再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得函数在1，3上的解析式根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围【解析】： 解：函数f（x）满足f（x+1）=，故有f（x+2）=f（x），故f（x）
17、是周期为2的周期函数再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得当x0，1时，f（x）=x2，故当x1，1时，f（x）=x2 ，当x1，3时，f（x）=（x2）2由于函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有4个交点，所以可得1loga（3+2），实数a的取值范围是5，+）故答案为：5，+）【点评】： 本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2013四川）在ABC中，角A，
18、B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）=（）求cosA的值；（）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影【考点】： 两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】： （）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小【解析】： 解：（）由可得，可得，即，即，（）由正弦定理，所以=，由题意可知ab，即AB，所以B=，由余
19、弦定理可知解得c=1，c=7（舍去）向量在方向上的投影：=ccosB=【点评】： 本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想17（12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积（）求学生小张选修甲的概率；（）记“函数f（x）=x2+x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（）求的分布列和数学期望【考点】： 相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随
20、机变量的期望与方差【专题】： 综合题【分析】： （I）利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率（II）先判断出事件A表示的实际事件，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率；（II）求出可取的值，求出取每个值的概率值，列出分布列，利用数学期望公式求出随基本量的期望值【解析】： 解：（）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得所以学生小张选修甲的概率为0.4（）若函数f（x）=x2+x为R上的偶函数，则=0当=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选P（A）=P（=0）=xyz+（1x）（1y）（1z）=0.40.
21、50.6+（10.4）（10.5）（10.6）=0.24事件A的概率为0.24（）依题意知=0，2则的分布列为的数学期望为E=00.24+20.76=1.52【点评】： 求随基本量的分布列，应该先判断出随基本量可取的值，再求出取每一个值的概率值18（12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD中，ABCD，且AB=AD=BC=CD=a，E为CD中点若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体DABCE，在图2中解答以下问题：（）设F为AB中点，求证：DFAC；（）求二面角ABDC的正弦值【考点】： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【
22、专题】： 综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】： （）取AE中点H，连接HF，连接EB，利用面面垂直，证明线面垂直，即DH平面ABCE，进一步证明AC平面DHF，从而可得线线垂直；（）建立空间直角坐标系，求出面DCB的法向量，面DAB的法向量，利用向量的夹角公式，可得二面角ABDC的正弦值【解析】： （）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB因为DAE为等边三角形，所以DHAE因为平面DAE平面ABCE，平面DAE平面ABCE=AE所以DH平面ABCE，因为AC平面ABCE所以ACDH（2分）因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a所以ABCE为菱形，所以ACBE因为H、F分别为AE、A
23、B中点，所以HFBE所以ACHF（4分）因为HF平面DHF，DH平面DHF，且HFDH=H所以AC平面DHF，又DF平面DHF所以DFAC（6分）（）解：连接BH，EB由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BHAE由（）知DH底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则所以，设面DCB的法向量为，则不妨设（8分）设面DAB的法向量，又则，取（10分）所以所以二面角ABDC的正弦值为（12分）【点评】： 本题看下线面垂直，考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题19（12分）设Sn是数列an（nN*）的前n项和，已
24、知a1=4，an+1=Sn+3n，设bn=Sn3n（）证明：数列bn是等比数列，并求数列bn的通项公式；（）令cn=2log2bn+2，求数列cn的前n项和Tn【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式【专题】： 计算题；证明题；等差数列与等比数列【分析】： （）由an+1=Sn+3n可得Sn+13n+1=2Sn+3n3n+1=2（Sn3n），从而得到bn+1=2bn，于是有：数列bn是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列bn的通项公式；（）由（）得：cn=2log2bn+2=2n，设M=1+则M=+，利用错位相减法即可求得数列cn的前n项和Tn【解析】： 证明：（）an+1=Sn+3n，
25、Sn+1Sn=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n，Sn+13n+1=2Sn+3n3n+1=2（Sn3n）bn+1=2bn（4分）又b1=S13=a13=1，bn是首项为1，公比为2的等比数列，故数列bn的通项公式为bn=2n1（6分）（）由（）得：cn=2log2bn+2=2n（8分）设M=1+则M=+得：M=1+=2，M=4=4，Tn=n（n+1）+4（12分）【点评】： 本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式，突出考查了错位相减法，考查分析与转化的能力，属于中档题20（13分）已知函数f（x）=xalnx（aR）（）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）设函数h（x）=f
26、（x）+，求函数h（x）的单调区间；（）若g（x）=，在1，e（e=2.71828）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程（）求出函数的定义域，函数的导函数，a1时，a1时，分别求解函数的单调区间即可（）转化已知条件为函数在1，e上的最小值h（x）min0，利用第（）问的结果，通过ae1时，a0时，0ae1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围
27、【解析】： 解：（）当a=2时，f（x）=x2lnx，f（1）=1，切点（1，1），k=f（1）=12=1，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y1=（x1），即x+y2=0（），定义域为（0，+），当a+10，即a1时，令h（x）0，x0，x1+a令h（x）0，x0，0x1+a当a+10，即a1时，h（x）0恒成立，综上：当a1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+）上单调递增当a1时，h（x）在（0，+）上单调递增 （）由题意可知，在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0，即函数在1，e上的最小值h（x）min0
28、由第（）问，当a+1e，即ae1时，h（x）在1，e上单调递减，； 当a+11，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，h（x）min=h（1）=1+1+a0，a2，当1a+1e，即0ae1时，h（x）min=h（1+a）=2+aaln（1+a）0，0ln（1+a）1，0aln（1+a）a，h（1+a）2此时不存在x0使h（x0）0成立 综上可得所求a的范围是：或a2【点评】： 本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力21（14分）已知椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为e=，且过点（1，）抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点坐
29、标为（0，）（）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（）若点M是直线l：2x4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （I）由已知条件，设椭圆方程为，把点代入能求出椭圆C1的方程抛物线C2中，由，能求出抛物线C2的方程（II）（i）设点M（x0，y0），且满足2x04y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），由于切线MA，MB同过点M，有，由此能证明直线A
30、B过定点（ii）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立方程，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程【解析】： 解：（I）由于椭圆C1中，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得=1故椭圆C1的方程为抛物线C2中，抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点坐标为（0，），故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=2y（II）（i）证明：设点M（x0，y0），且满足2x04y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为x1，从而MA的方程为y=x1（xx1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，
31、由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0=0上又点M在直线2x4y+3=0上，则2x04y0+3=0，故直线AB的方程为（4y03）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y3x）=0，直线AB过定点（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x04y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，所求的直线为x+2y+2=0或x14y10=0【点评】： 本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用
