1、第二课时利用导数证明不等式移项作差构造法证明不等式例1已知函数f(x)1，g(x)bx(e为自然对数的底数)，若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直(1)求a，b的值；(2)求证：当x1时，f(x)g(x).解(1)因为f(x)1，所以f(x)，f(1)1.因为g(x)bx，所以g(x)b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，即g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.(2)证明：由(1)知，g(x)x，则f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1
2、)，则h(x)11.因为x1，所以h(x)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1x0，所以当x1时，f(x)g(x).待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证隔离审查分析法证明不等式例2(2019长沙模拟)已知函数f(x)ex2xln x求证：当x0时，f(x)xex.证明要证f(x)xex，只需证exln xex，即exexln x.令h(x)ln x(x0)，则h(x)，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以ln x0.再令(x)exex，则(x)ee
3、x，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exexln x，故原不等式成立若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标放缩法证明不等式例3已知函数f(x)axln x1.(1)若f(x)0恒成立，求a的最小值；(2)求证：xln x10；(3)已知k(exx2)xxln x恒成立，求k的取值范围解(1)f(x)0等价于a.令g(x)(x0)，则g(x)，所以当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，则g(x)在(
4、0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)1，则a1，所以a的最小值为1.(2)证明：当a1时，由(1)得xln x1，即tln t1(t0)令t，则xln xln t，所以xln x1，即xln x10.(3)因为k(exx2)xxln x恒成立，即k1ln x恒成立，所以k1，由(2)知xln x10恒成立，所以11，所以k1.故k的取值范围为1，)导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负常见的放缩公式如下：(1)ex1x，当且仅当x0时取等号；(2)ex
5、ex，当且仅当x1时取等号；(3)当x0时，ex1xx2, 当且仅当x0时取等号；(4)当x0时，exx21, 当且仅当x0时取等号；(5)ln xx1x2x，当且仅当x1时取等号；(6)当x1时，ln x，当且仅当x1时取等号 典例已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2.解(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1,1)，又因为f (x)1，所以切线斜率kf(1) 2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当
6、a2时，f(x)ln xx2x(x0)由f(x1)f(x2)x1x20，即ln x1xx1ln x2xx2x1x20，从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2，设(t)tln t(t0)，则(t)1，易知(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x10，x20，所以x1x2成立破解含双参不等式的证明的关键一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最
7、值应用到双参不等式，即可证得结果过关训练已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若方程f(x)a有两个根x1，x2(x1x2)，求证：x1x22a.解：(1)因为f(x)(x0)，所以当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，函数无最小值当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增函数f(x)在xa处取最小值f(a)ln a1.(2)证明：若函数yf(x)的两个零点为x1，x2(x1x2)，由(1)可得0x1ax2.令g(x)f(x)f(2ax)(0xa)，则g(x)(xa)0，所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)g(a)0，即f(x)f(2ax)令x
8、x1a，则f(x1)f(2ax1)，所以f(x2)f(x1)f(2ax1)，由(1)可得f(x)在(a，)上单调递增，所以x22ax1，故x1x22a.典例已知函数f(x)ln(x1).(1)若x0时，f(x)1恒成立，求a的取值范围；(2)求证：ln(n1)(nN*)解(1)由ln(x1)1，得a(x2)(x2)ln(x1)令g(x)(x2)1ln(x1)，则g(x)1ln(x1)ln(x1).当x0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减所以g(x)g(0)2，故a的取值范围为2，)(2)证明：由(1)知ln(x1)1(x0)，所以ln(x1).令x(k0)，得ln，即ln.所以l
9、nlnln ln，即ln(n1)(nN*)证明与数列有关的不等式的策略(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量通过多次求和达到证明的目的此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如exx1可化为ln(x1)x等过关训练(2019长春质检)已知函数f(x)ex，g(x) ln(xa)b.(1)若函数f(x)与g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b0时，f(x)g(
10、x)0恒成立，求整数a的最大值；(3)求证：ln 2(ln 3ln 2)2(ln 4ln 3)3ln(n1)ln nn(nN*)解：(1)因为函数f(x)和g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，所以f(0)g(0)且f(0)g(0)，又因为f(x)ex，g(x)，所以1ln ab,1，解得a1，b1.(2)现证明exx1，设F(x)exx1，则F(x)ex1，当x(0，)时，F(x)0，当x(，0)时，F(x)0，所以F(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以F(x)minF(0)0，即F(x)0恒成立，即exx1.同理可得ln(x2)x1，即exln(x2)，当a2时，ln(xa)ln(x2)ex，所以当a2时，f(x)g(x)0恒成立当a3时，e0ln a，即exln(xa)0不恒成立故整数a的最大值为2.(3)证明：由(2)知exln(x2)，令x，则eln，即en1nln(n1)ln nn，所以e0e1e2en1ln 2(ln 3ln 2)2(ln 4ln 3)3ln(n1)ln nn，又因为e0e1e2en1，所以ln 2(ln 3ln 2)2(ln 4ln 3)3ln(n1)ln nn.
