1、2021学年第一学期期末调研测试卷高二数学一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ）A. B. C. D. 2. 已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）A. 4B. 2C. 1D. 3. 已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（ ）A. 3B. 4C. 9D. 214. 已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）.A. 1B. C. D. 5. 设是数列的前项和，已知，则数列（ ）A. 是等比数列，但不是等差数列B. 是等差数列，但不是等比数列C. 是等比数列，也是等差数列D. 既不是
2、等差数列，也不是等比数列6. 已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）A. B. C. D. 8. 已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点A.已知为原点，且，则（ ）A. B. C. D. 二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线，其中，下列说法正确是（ ）A. 若直线与直线平行，则B. 当时，直线与直线垂直C. 直线过定点
3、D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等10. 已知圆的半径为定长，A是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）A. 点的轨迹可能是椭圆B. 点的轨迹可能是双曲线的一支C. 点的轨迹可能是抛物线D. 点的轨迹可能是一个定点11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（ ）A. B C. 直线与直线所成角的正该值是D. 直线与平面所成角正弦值是12. 设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）A. B. 和均为最大值C. 存在正整数，使得D. 存在正整数，使
4、得三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在空间直角坐标系中，已知，则_.14. 若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是_.15. 已知数列中，且数列为等差数列，则_.16. 已知单位空间向量，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是_.四解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18. 如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点，并
5、修建两段直线型道路.规划要求，线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，（单位：百米）.（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.19. 已知抛物线的准线与轴的交点为.（1）求的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20. 如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足（1）求证：平面；（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小21. 某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数
6、低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，）22. 已知椭圆的离心率是，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.1【答案】
7、C2【答案】D3【答案】A4【答案】D5【答案】B6【答案】B7【答案】A8【答案】C9【答案】BC10【答案】ABD11【答案】AB12【答案】ACD13【答案】或#或14【答案】515【答案】16【答案】17【答案】（1），；（2），.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，依题意有，由，又，解得，即， ；（2），前项和.前项和，.18【答案】（1）15（百米） （2）点选在处不满足规划要求，理由见解析【小问1解】如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为为圆的直径，所以圆的方程为.因为，所以，故直线的方程为，则点，的纵坐标分别为3，从而，直线的斜
8、率为.因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.令，得，所以.因此道路的长为15（百米）.【小问2】若点选在处，连结，可求出点，又，所以线段.由解得或，故不妨取，得到在线段上的点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.因此点选在处不满足规划要求.19【答案】（1） （2）是定值，定值为【小问1】由题意，可得，即，故抛物线的方程为.【小问2】为定值，且定值是.下面给出证明.证明：设直线的方程为，联立抛物线有，消去得，则，又，.得因此为定值，且定值是.20【小问1】因为点在底面内的射影恰好是点，所以面.因为面,所以.因为是的中点，且满足所以，所以.因为，所以，即,所以.因为,面,面,所以平面
9、.【小问2】面，直线与底面所成角为，即.因为，所以由（1）知，因，所以，.如图示，以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,所以，设，由得，即.则.设平面BDC1的一个法向量为，则，不妨令，则.因为面，所以面的一个法向量为记二面角的平面角为，由图知，为锐角.所以,即.所以二面角的大小为.21【答案】（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析； （2）在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.【小问1】记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，则经过1年即2021年底该企业A等设备量，可得，又所以数列是以为首项，公比为的等比数列，可得，所以，显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.【小问2】由，得.因为单调递减，又，所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.22【答案】（1）； （2）2.【小问1】由题知，解得，椭圆的标准方程为.【小问2】当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，由，得.得，从而已知，可得.设到直线的距离为，则，结合化简得此时的面积最大，最大值为2.当且仅当即时取等号，综上，的面积的最大值为2.
