1、立体几何（空间几何体）教 师：苗金利 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义-第 1 页-立体几何（空间几何体）一、知识要点 1 多面体（性质、侧面积、体积）（1）棱柱：斜棱柱，直棱柱，正棱柱（2）棱锥：棱锥，正棱锥（3）棱台：棱台，正棱台 2 旋转体（性质、表面积、体积）（1）圆锥（2）圆柱（3）圆台（4）球 3 截面 二、例题分析例 1（1）正四棱锥的侧棱与底面成45 角，则侧面与底面所成的二面角的正弦是（）（A）32 （B）22 （C）1515 （D）63 （2）长方体的全面积是 22，棱长之和为 24，其对角线长为（）（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （3）已知过球面上 A
2、、B、C 三点的截面到球心的距离等于球的半径的一半，且 AB=AC=BC=2，球的面积是（）（A）169 （B）83 （C）4 （D）649 （4）地球半径为 R，在北纬 30 圆上有两点 A、B.A 点的经度为东经120，B 点的经度为西经 60，则A、B 两点的球面距离是（）（A）13R （B）32R （C）12R （D）23R （5）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）（A）8 2 （B）8 （C）4 2 （D）4 （6）正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点，那么，正方体的过 P、Q、R 的截面图形是（）
3、（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形（7）已知 a、b、c 是直线，是平面，给出下列命题：若cacbba/,则；若cacbba则,/；若baba/,/则；若 a 与 b 异面，且与则ba,/相交；若 a 与 b 异面，则至多有一条直线与 a，b 都垂直.其中真命题的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4 -第 2 页-（8）矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BACD，则四面体 ABCD的外接球的体积为（）（A）12512 （B）1259 （C）1256 （D）1253 （9）已知直线 m、n 与平面、，给出下列三个命题：
4、若 m，n，则 mn；若 m，n，则 nm；若 m，m，则 其中真命题的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（10）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1AB2，AD1，E、F、G 分 别是 DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是（）（A）arccos155 （B）4 （C）arccos105 （D）2 （11）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）22 3+（B）42 3+（C）2 323+（D）2 343+例 2（1）在正方体DCBAABCD 中，过对角线BD 的平面交AA 于 E，交CC 于 F，四边形EBFD一
5、定是平行四边形 四边形EBFD有可能是正方形 四边形EBFD在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形EBFD有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）（2）在 ABC中，9,15,120,ABACBAC=它所在平面外一点 P 到三个顶点的距离都是 14，则点 P 到平面 ABC 的距离是 .（3）斜三棱柱111ABCA B C中，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 3，侧棱1AA 与底面相邻两边的 AB，AC 都成 45，则其全面积是 .（4）三棱锥 P-ABC 的侧棱两两垂直，底面上有一点 M 到三个侧面的距离分别为 2，3，4，则 PM .-第 3 页
6、-（5）正三棱锥 P-ABC，侧面顶角是 20，侧棱长为 a，过 A 作截面 AEF 与侧棱 PB、PC 交于 E、F，则截面 AEF周长的最小值是 .（6）已知球的两个平行截面的面积分别是5 和8，球心到这两个截面的距离之差是 1，则球的半径是 .（7）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 3cm.例 3某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示，墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线 BD 平
7、面 PEG.图 1 图 2 图 3 -第 4 页-例 4如图，在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，E、E 1、F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。（1）证明：直线 EE 1/平面 FCC 1；（2）求二面角 B-FC 1-C 的余弦值.例 5右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC.已知11111A BB C=，11190A B C=，14AA=，12BB=，13CC=.（1）设点O 是 AB 的中点，证明：OC平面111A B C；（2）求 A
8、B 与平面11AAC C 所成的角的大小；（3）求此几何体的体积.-第 5 页-例 6在一个轴截面是等边三角形的圆锥形容器内，放一个半径为 r 的铅球，并往该容器内注水，使水面与球相切，然后把球取出，求圆锥内水的高度.例 7矩形 ABCD 的一边 BC 被点 M 分成黄金比（512CMCB=）.求证：,ACDACMABM，以 CD 为轴旋转一周所得旋转体的体积相等.-第 6 页-例 8在母线长为 20cm，上下地面半径分别为 5cm，10cm 的圆台中，从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子，围绕圆台侧面转到 B 点，问当这条绳子最短时，它有多长？这条最短绳子的点和圆台上底圆周上点之间的距离中，
9、最短是多少？例 9在高为 H，底面半径为 R 的圆锥内，过轴 VO 上一点 P 作平行于底面的截面，求以此截面及底面 D 为顶点的圆锥的最大体积.-第 7 页-参 考 答 案 例 1、（1）D 解析：6sin3VOVMOVM=（2）A 解析：()22222424abbcacabc+=+=对角线()()2222214labcabcabbcac=+=+=（3）D 解：22sin 60r=（r 为ABC 外接圆半径）23r=2169R=64 9S=球（4）D 解析略。（5）B 解析：1r=2R=8S=（6）D 解析略。（7）A 解析：错误；正确；错误；错误；错误。（8）C 解：由图可知 AC 中点为
10、球心 O 52R=125 6V=（9）C 解析：错；正确；正确，选 C。（10）D 解：连接 BG、B1F 则 B1G=2，B1F=5，FG=3 cosFGB1=2352 23+=0 12FGB=选 D-第 8 页-（11）C 解：实物图为 122232333V=+=+选 C。例 2、（1）（2）7 （3）2 36 26+（4）29 （5）a（6）3 （7）18 例 3、（1）（2）1404020404060640003V=+=（3）证明：设 ABCD 中心为 O BDPO 又 BDEG BDPEG 面 例 4、（1）证明：ADFC DD1C1C 11A ADD面面 FCC1 E1E面 FCC
11、1（2）面 C1CF面 BCF 过 B 作 BHCF 于 H 则 BH面 C1FC 过 H 作 HGC1F 垂足为 G 连 GB 1BGC F BGH即为所求 在BGH 中解得 cosBGH=77 例 5、（1）证明：设 A1B1 中点为 m，连接 OM，则()11132OMAAB B=+=OMC1C 四边形 OMC1C 为平行四边形 COC1M 又 OC 面 A1B1C1 C1M 面 A1B1C1 OC面 A1B1C1（2）设 AA1 中点为 N，连接 B1N 设 A1C1 中点为 H，连接 B1H，NH 则B1NH 即为所求 122B H=13B N=1262sin63B NH=16arc
12、sin 6B NH=（3）()11251 1 21223222V=+=-第 9 页-例 6、设水的高度为 h 如图 BC=3r CD=3r()2231134333333rrhhr=+3 15hr=例 7、证明：设旋转得到的圆柱高为 b，底面半径为 a 2 Va b=柱 V 锥=213 a b 22221515113223Vbaaaa b=+=中 命题得证。例 8、解析：MB 即为所求 由图可知 201020=2=10202r=50cmMB=过 O 作OFMB 30402450OF=最短为 2420=4cm 例 9、解：设 PO=x rHxRH=1xrRH=22211133xRxVxRxHH=2113RxxxHH=22116RHxxxHHH 32221146381xxxHRHRHHH+=当且仅当 21xxHH=3Hx=-第 10 页-
