1、33.2极大值与极小值函数yf(x)的图象如图所示：问题1：函数yf(x)在a，b，c，d，e，f等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？提示：以a，b两点为例，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，而在点xb的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大同理，在c，d，e，f处的函数值比它在该点附近其他点的函数值都大或都小问题2：yf(x)在这些点的导数值是多少？提示：导数值为0.问题3：在这些点附近yf(x)的导数的符号有何规律？提示：在这些点的左右两侧导数符号相反1极大值与极小值的定义设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，若f(x0)的值比x0
2、附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值；若f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值极大值和极小值统称为极值2极大值与导数的关系xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)增极大值f(x0)减3极小值与导数的关系xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)减极小值f(x0)增1函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况2由函数极值的定义知，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值3若函数在某区间内有极值，则函数在该区间内不单调求函数的极值例1求
3、函数yx44x35的极值思路点拨先求f(x) 和使f(x)0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值精解详析y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y， y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y不是极值极小值22故当x3时函数取得极小值，且y极小值f(3)22.一点通求函数yf(x)的极值的方法：(1)求导数f(x)；(2)令f(x)0，求出使f(x)0的各个值x0；(3)检验x0左右两侧导函数的符号，如果在x0的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0的左侧f(x)0，那么f(x
4、0)是极小值；如果在x0左右两侧导数符号相同，那么f(x0)不是极值(4)求出极大(小)值1已知函数f(x)x2ex，求f(x)的极小值和极大值解：f(x)的定义域为(，)，f(x)x(x2)ex，列表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(x)00f(x)极大值极小值故当x2时，f(x)取得极大值为f(2)4e2，当x0时，f(x)取得极小值为f(0)0.2设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切
5、线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.已知函数极值求参数例2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，求常数a、b的值思路点拨由于函数f(x)在x1处有极值10，可得f(1)0且f(1)10，由此列出方程组求a，b的值，但还要检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件精解详析f(x)3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3时，f(x)3x26x30，故f(x)在R上单
6、调递增，不可能在x1处取得极值，所以不符合题意，舍去；而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.一点通根据函数极值情况，逆向应用确定参数值时应注意：用待定系数法，列方程或方程组求解；由于导数值为零不是该点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性3若函数f(x)ax3x1有极值，则a的取值范围为_解析：f(x)3ax21.当a0时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增，无极值；当a0时，令f(x)0，解得x .可判断知当x 时，f(x)取极小值；当x 时，f(x)取极大值故a(，0)答案：(，0)4已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，如果函数f(x)在x1处取得极
7、值，求b，c的值解：f(x)x22bxc，由f(x)在x1处取得极值，可得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x0，当x1时，f(x)0，故当x1时，f(x)有极大值.所以b1，c3即为所求.函数极值的综合应用例3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？思路点拨(1)利用求函数极值的方法，直接求解，然后由单调性和极值画出图象；(2)将方程根的问题转化为函数图象与x轴交点的问题精解详析(1)由f(x)x
8、33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示(2)结合图象知，当极大值a20或极值a20时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2.一点通极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化以及函数与方程的思想，分类讨论的思想在解题中的应用在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键5若函数f(x)x
9、3ax22bxc，当x(0,1)时函数取得极大值，当x(1,2)时函数取得极小值，试求的取值范围解：由已知得f(x)x2ax2b，由于当x(0,1)时函数取得极大值，当x(1,2)时函数取得极小值，所以方程f(x)0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，即函数yf(x)的图象如图所示所以有即在平面直角坐标系中画出该不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,0)，设P(a，b)为可行域内一点，D(1,2)，则的几何意义为直线PD的斜率，由图可知kADkPDkCD，故0，得x1，f(x)在(，2)，(1，)上为增函数，在(2,1)上为减函数若不经
10、过第四象限，则f(1)0，得2m0，m.答案：6求函数f(x)x312x的极值解：函数f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值f(2)16极小值f(2)16从表中可以看出，当x2时，函数有极大值，且f(2)(2)312(2)16.当x2时，函数有极小值，且f(2)2312216.7已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方
11、程解：(1)因为f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0.所以f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1.若x(，1)(1，)，则f(x)0，故f(x)在(，1)和(1，)上是增函数；若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数所以f(1)2是极大值，f(1)2是极小值(2)曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足曲线方程，所以y0x3x0.因为f(x0)3(x1)，故切线方程为yy03(x1)(xx0)，因为点A(0,16)在切线上，有16(x3x0)3(x1
12、)(0x0)，化简得x8，解得x02.所以切点为M(2，2)，切线方程为9xy160.8设函数f(x)x4ax32x2b，a，bR.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0处有极值，试求a的取值范围解：(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)，当a时，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)，令f(x)0，得x10，x2，x32，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，0)02(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)在和(2，)上是增函数，在区间(，0)和上是减函数(2)f(x)x(4x23ax4)，显然x0不是方程4x23ax40的根f(x)仅在x0处有极值，方程4x23ax40有两个相等的实根或无实根，9a24160，解得a，这时，f(0)b是惟一极值，因此满足条件的a的取值范围是.
