1、第73讲矩阵与变换考试要求1.矩阵的概念，常见的平面变换(A级要求)，二阶矩阵与平面向量，变换的复合与矩阵的乘法，逆矩阵，特征值特征向量(B级要求)；2.高考中对本讲的考查以解答题为主，难度中等.预计高考中更加注重二阶矩阵的运算.诊 断 自 测1.已知A，B，求AB.解AB).2. .解3.求矩阵M的特征值.解10，23.M的特征值为0和3.知 识 梳 理1.乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵)的乘法规则：a11a12)a11b11a12b21. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律.即(AB)CA(BC)
2、，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算.2.常见的平面变换3.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.4.特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量.5.特征多项式设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()2(ad)adbc，称为A的特征多项式.考点一矩阵与变换【例1】 (一题多解)(2017南京、盐
3、城二模)设a，bR.若直线l：axy70在矩阵A对应的变换作用下，得到的直线为l：9xy910.求实数a，b的值.解法一在直线l：axy70取A(0，7)，B(1，7a)，则A(0，7)，B(1，7a)在矩阵A对应的变换作用下得到A(0，7b)，B(3，b(7a)1)，由题意可知：A，B在直线9xy910上，解得实数a，b的值为2，13.法二设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x，y)，由Q(x，y)在直线l：9xy910上，即27x(xby)910，即26xby910，P在axy70上，解得a2，b13.实数a，b的值为2，13.规律方法已知变换前后的坐标，求
4、变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解.【训练1】 二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2).(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：xy4，求l的方程.所以且解得所以M.(2)因为)，且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，整理得xy20，所以直线l的方程为xy20.考点二求逆矩阵【例2】 (一题多解)(2017南通二模)设矩阵A满足：A，求矩阵A的逆矩阵A1.所以a1，2a6b2，c0，2c6d3.解得b0，d，所以A.根据逆矩阵公式得，矩阵A1.所以a1，2a3b2，c0，2c3d6.解得a1，b0，c0，d2，从而A1.规律方
5、法求逆矩阵的方法(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵，ABBAE；(2)公式法|A|adbc0，有A1.【训练2】 已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则 ，即，故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B .考点三特征值与特征向量【例3】 (2018苏北四市模拟)已知矩阵A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为，求实数a，b的值.解矩阵A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为，由条件知，A2，即 2，即，解得a，b的值分别为2，4.规律方法已知A，求特征值和特征向量的步骤(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组；(3)赋值法求特征向量，一
6、般取x1或者y1，写出相应的向量.【训练3】 已知矩阵A，其中aR，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3).(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量.解(1)由题意得 ，所以a13，所以a4.(2)由(1)知A，令f()(1)240.解得A的特征值为1或3.当1时，由得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，当3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.一、必做题1.(2018苏北四市一模)已知矩阵A，B，向量，若AB，求实数x，y的值.解A，B.由AB得得x，y4.2.(2016江苏卷)已知矩阵A，矩阵B的逆矩阵B1，求矩阵AB.解B(B1)1.AB.3.已知矩阵M
7、，求M(24).解24，M(24) .4.已知矩阵A将点(1，0)变换为(2，3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A.解设A，由 ，得由 3，得所以所以A.5.曲线C1：x22y21在矩阵M的作用下变换为曲线C2，求C2的方程.解设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P(x，y)为曲线x22y21上与P对应的点，则 ，即因为P是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x2y)22y21.6.(2017苏、锡、常、镇二模)已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成(2，4).(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值.解(1)设矩阵M，这里a，b
8、，c，dR，则 8，故由于矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成(2，4).则 ，故联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016，故矩阵M的另一个特征值为2.7.(2016苏中四校联考)求曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解设点(x0，y0)为曲线|x|y|1上的任一点，在矩阵M对应的变换作用下得到的点为(x，y)，则由 ，得即所以曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线为|x|3|y|1，所以围成的图形为菱形，其面积为2.二、选做题8.设数列an，bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足M ，求二阶矩阵M.解依题设有 ，令A，则MA4，A2 .MA4(A2)2 .9.已知矩阵A，B.(1)求满足条件AMB的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2y21变换为曲线C，求曲线C的方程.解(1)设M，AM ，得a0，b2，c3，d0.M.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P(x，y)，则M ，即代入曲线C：x2y21，得1.曲线C的方程是1.
