1、第二节解三角形 选题明细表知识点、方法题号知边的恒等式解三角形3,6知角的恒等式解三角形12知边与角的恒等式解三角形2,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15三角形形状的判断1一、选择题1.在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是(C)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定解析:在ABC中,因为sin2A+sin2Bsin2C,所以由正弦定理知a2+b2c2(C最大).所以cos C=0,即C为钝角,ABC为钝角三角形.故选C.2.ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则
2、角B等于(B)(A)30(B)60(C)90(D)120解析:acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,sin(A+C)=2sin Bcos B,即sin B=2sin Bcos B,因为sin B0,则cos B=,又因为0B0,则sin B=.因为B(0,),所以B=或.又b2=ac,则ba或bc,即b不是ABC的最大边,故B=.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得9=a2+c2-ac2ac-ac,得ac9,所以SABC=acsin B.当a=c=3时,ABC的面积取得最大值.故选D.6.若G是AB
3、C的重心,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若a+b+c=0,则角A等于(D)(A)90(B)60(C)45(D)30解析:因为G是ABC的重心,所以=-(+).又a+b+c=0,所以(a-c)+(b-c)=0.因为与不共线,所以a-c=0,b-c=0,即a=c,b=c.因为a,b,c分别是内角A,B,C的对边,由余弦定理,得cos A=.又因为0ABC,3b=20acos A,则sin Asin Bsin C为(D)(A)432(B)567(C)543(D)654解析:因为ABC,所以abc.又因为a,b,c为连续的三个正整数,所以设a=n+1,b=n,c=n-1(n2,nN*).因为3
4、b=20acos A,所以=cos A,所以=,=,即=,化简得7n2-27n-40=0,(n-5)(7n+8)=0,所以n=5(n=-舍).又因为=,所以sin Asin Bsin C=abc=654. 故选D.9.(2018浙江卷)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sin B=,c=.解析:如图,由正弦定理=,得sin B=sin A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得7=4+c2-4ccos 60,即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).答案:310.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,
5、且sin C-sin Acos B=,B为钝角,则A=, C= .解析:由sin C-sin Acos B=知,sin(A+B)-sin Acos B=,所以cos Asin B=.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B,代入a=btan A得,sin A=sin B,又因为A(0,),所以sin A0,所以1=,即sin B=cos A.所以cos2A=,由于B是钝角,故A(0,),所以cos A=,A=.sin B=,B=,所以C=-(A+B)=.答案: 11.(2019温州高三模拟)在锐角ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若a2+c2=b2+ac,则B=;若s
6、in A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值为.解析:由余弦定理可知,b2=a2+c2-2accos B,而a2+c2=b2+ac,所以有cos B=,因为B(0,),所以B=.因为sin A=2sin Bsin C,所以sin(-B-C)=sin(B+C)=2sin Bsin C,所以有sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin Ctan B+tan C=2tan Btan C,因为-tan A=tan(B+C)=,所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C,所以tan Atan Btan C=tan A+2tan
7、 Btan C2,设tan Atan Btan C=x0,则x2,解得x8或x0(舍去),即tan Atan Btan C的最小值为8,当且仅当tan A=4,tan B+tan C=4,tan Btan C=2,即tan B=2+,tan C=2-,tan A=4,或tan C=2+,tan B=2-,tan A=4,此时角A,B,C为锐角,所以tan Atan Btan C的最小值为8.答案:812.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,B=,且sin Asin C=31,则的值为.解析:sin Asin C=ac=31,所以a=3c.由余弦定理得cos =,所以=,7c2=b
8、2,所以=7,所以=.答案:13.在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.解析:如图所示,延长BA,CD,相交于点E,过点C作CFAD交AB于点F,则BFABBE.在等腰三角形CBF中,FCB=30,CF=BC=2,所以BF=-.在等腰三角形ECB中,CEB=30,ECB=75,BE=CE,BC=2,=,所以BE=+.所以-AB+.答案:(-,+)三、解答题14.(2019金华高三模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-(b-c)2=(2-)bc,sin Asin B=cos2,BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小;(2)求A
9、BC的面积.解:(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc,得a2-b2-c2=-bc,所以cos A=,又0A,所以A=.由sin Asin B=cos2,得sin B=,即sin B=1+cos C,则cos C0,即C为钝角,所以B为锐角,且B+C=,则sin(-C)=1+cos C,化简得cos(C+)=-1,解得C=,所以B=.(2)由(1)知,a=b,在ACM中,由余弦定理得AM2=b2+()2-2bcos C=b2+=()2,解得b=2,故SABC=absin C=22=.15.已知ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且mn.(1)求角B的大小;(2)若b=,求a+c的取值范围.解:(1)因为m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且mn.所以(2a+c)cos B+bcos C=0,所以cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,所以2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0,即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A,因为sin A0,所以cos B=-.因为0Bb=,所以a+c(,2.
