1、北京市第十四中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具. 一、选择题（本题共40分，每小题4分，每个题目只有一个选项正确）1. 已知全集是实数集，右边的韦恩图表示集合与的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为，由题，所以，故选择D.2. 已知向量，若，则实
2、数=（ ）A. -3B. C. 1D. 3【答案】A【解析】【详解】向量，则，若，则有，所以.故选：A.3. 函数的一段图象如图所示，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解.【详解】由题意，函数的一段图象，可得，所以，又由，解得.故选：B.4. 已知函数，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b即可得出【详解】函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点，=2，=2，解得a=，b
3、=16则ab=8故选D【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对每一个选项中的函数，先求定义域，若定义域关于原点对称，再观察是否满足，再根据初等函数的单调性判断在上是否单调递增，可得出选项.【详解】A项，对于函数，定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数，故A项错误；B项，对于函数，定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B项错误；C项，对于函数，定义域为，关于原点对称，所以函数为偶函数，当时，利用指数函数知，函数在区间上为增函数，故C正
4、确；D项，对于函数，定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故D项错误；故选：C.6. 已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出等差数列通项公式，利用，从而可得当时，取最小值.详解：在数列中，由，得，数列是公差为的等差数列又，数列是公差为的递增等差数列由，解得，数列中从第五项开始为正值当时，取最小值故选点睛：求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的二次函数，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为
5、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是一条侧棱与底面垂直的四棱锥,由三视图求出几何元素的长度判断出位置关系,由直观图求出该四棱锥最长棱【详解】 根据三视图可知几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形,ADABAD/BC,AD=AB=2BC=1,PA底面ABCD,且PA=2,该四棱锥最长的棱长为,故答案为:3.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意
6、实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.9. 已知数列的通项公式为，则“”
7、是“数列单调递增”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由数列单调递增，化简得到，再由的单调性求得a的范围，然后再由充分条件，必要条件的定义判断.【详解】若数列单调递增则，化简得，令在上递增，所以，所以“”是“数列单调递增”的充分不必要条件，故选：A10. 蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm，横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该
8、游客离墙距离为xcm，视角为.为使观赏视角最大，x应为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】分析】设，则，利用两角差的正切公式用表示出，再根据对勾函数的单调性求解【详解】解：过作于，设，则，则（），（），当且仅当即时，有最大值，此时也最大，故选：D【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题二、填空题（本题共25分，每小题5分）11. 角终边经过点，则_.【答案】【解析】【分析】利用正弦函数定义求得，再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意，所以，故答案为：12. 已知，是不共线的两个向量，则_【答案】【解析】【分析】由已知可知，=，代入即可求解
9、【详解】，是不共线的两个向量，=，=，则=，故答案为【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题13. 函数，满足的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式得出不等式组或，解之可得答案【详解】因为，所以或，解得或，所以的取值范围是故答案为：14. 在中，若的面积为则边的长度为_.【答案】或【解析】【分析】利用三角形的面积公式，求得角，再利用余弦定理，即可求解边的长度，得到答案.【详解】由题意，在中，且面积为，所以，解得，又因为，所以或，当时，由余弦定理，可得；当时，由余弦定理，可得，综上，边的长度为或.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有
10、关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15. 给定函数yf(x)，设集合Ax|yf(x)，By|yf(x)若对于xA，yB，使得x+y0成立，则称函数f(x)具有性质P给出下列三个函数：；ylgx其中，具有性质P的函数的序号是_【答案】【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可【详解】对，A (，0) (0，+)，B (，0) (0，+)，显然对于xA，yB，使得x+y0成立，即具有性质P；对，AR，B (0，+)，当x0时，不存在yB，使得x+
11、y0成立，即不具有性质P；对，A (0，+)，BR，显然对于xA，yB，使得x+y0成立，即具有性质P；故答案为：【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题三、解答题（本题共85分）16. 已知等差数列和等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）若，求n；（3）求和：.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用，求得数列的公差，从而求得的通项公式；（2）利用等差数列求和公式即可求得. （3）利用，求得，由等比数列性质知，即，知数列是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列求和公式即可求得.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：，又，解得 ，（2）利
12、用等差数列求和可知，即，解得：或（舍去）（3）设等比数列的公比为，又，即，又，解得：或（舍去）即，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列17. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的最大和最小值以及相应的x的取值；（3）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）函数的最大值为，此时；函数的最小值为，此时；（3）或【解析】【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期（2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x的取值；（3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案【详解】（1），因为，所以，所以的最小正周期为，（2）由（1）得，所以当时，函数的最大值为，此时，即；当时，函数的最小值为，此
13、时，即；所以函数的最大值为，此时；函数的最小值为，此时；（3）因为，所以.因为，所以，即.所以或，故或.18. 已知函数.（1）当时，求单调区间；（2）是否存在实数a，使的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）存在，【解析】【分析】（1）当时，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调区间；（2）求导，分和两种情况得出导函数的正负，得出函数的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案【详解】（1）当时，所以，令，得或，所以当或时，；当时，所以在和上单调递增，在上单调递减；（2）存在，理由如下：，令，得或，因为所以
14、所以当时，恒成立，所以在R上单调递增，此时函数不存在极值，所以；当时，所以当或时，；当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以函数在时，取得极大值，所以，即，解得，所以存在，使的极大值为3【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间19. 在四棱锥中，平面平面ABCD，为等边三角形， ，点M是PC的中点.（1）求证：平面PAD；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段PB上是否存在点N，使得平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）在线段
15、PB上不存在点N，使得DN平面PBC【解析】【分析】（1）取PD中点H，连结MH，AH，推导出四边形ABMH为平行四边形，由此能证明BM平面PAD（2）取AD中点O，连结PO，以O为原点，如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PBCD的余弦值（3）设点N（x，y，z），且 ，利用向量法求出在线段PB上不存在点N，使得DN平面PBC【详解】（1）取PD中点H，连结MH，AH因为 M为中点，所以 因为，所以ABHM且AB=HM所以四边形ABMH为平行四边形，所以BMAH因为 BM平面PAD，AH平面PAD，所以BM平面PAD（2）取AD中点O，连结PO因为PA=PD，所以POAD因为平面P
16、AD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD取BC中点K，连结OK，则OKAB以O为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则，则平面BCD的法向量，设平面PBC的法向量，由，得令，则由图可知，二面角PBCD是锐二面角，所以二面角PBCD的余弦值为（3）在线段PB上是不存在点N，使得DN平面PBC设点，且 ，则，所以则，所以，若 DN平面PBC，则，即，此方程无解，所以在线段PB上不存在点N，使得DN平面PBC【点睛】在解决线段上是否存在点，使得满足线面平行或线面垂直等条件的问题，常常采用向量的线性表示，运用法，设出点的坐标，表示已知条件，求解方程的解
17、，得出结论20. 已知函数.（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）（） 【解析】试题分析：（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）首先根据首先，初步判断，再证明存在唯一根 ，且函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，只需即可，又满足，代入上式即可证明.试题解析：（）若，则，当时，当时，所以所求切线方程为 （）由条件可得，首先，得， 而，令其为，恒为正数，所以即单调递增，而，所以存在唯一根 ，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，只需即可，又满足，代入上式可
18、得 ,即：恒成立，所以 21. 已知任意的正整数n都可唯一表示为，其中，.对于，数列满足：当中有偶数个1时，；否则，如数5可以唯一表示为，则.（1）写出数列的前8项；（2）求证：数列中连续为1的项不超过2项；（3）记数列的前n项和为，求满足的所有n的值.（结论不要求证明）【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或.【解析】【分析】（1）由题意，实际根是将十进制的转化为二进制的数，即可得到答案；（2）设数列中某段连续为1的项从开始，则，由，则中有奇数个，分且中无0和当且中有0，两种情况，即可证明；（3）由（2），即可求得的值.【详解】（1）由，根据数列满足：当中有偶数个1时，；否则，所以数列
19、的前8项为.（2）设数列中某段连续为1的项从开始，则，由题意，令，则中有奇数个，当且中无0时，因为，所以，所以，此时连续2项为1，当且中有0时，若，则，则，因为中有奇数个1，所以，此时连续项为1.若，即+连续个乘以，则+连续个乘以，+（其中），如果为奇数，那么，此时连续2项为1，如果为偶数，那么，此时仅有1项为，综上所述，连续为1的项不超过2项.（3）由（2）可得，满足，可得或.【点睛】有关数列新定义问题特点与解题思路：1、新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设新的问题情景，要求再阅读理解的基础上，依据他们提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、新定义问题的解题思路：遇到新定义问题时，认真分析定定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.
