1、第八章 平面解析几何 8.7 抛物线 考向归纳考向1抛物线的准线方程及几何性质1.已知抛物线的焦点在x轴上,其上一点P(3,m)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】依题意得,(3)5,p4.抛物线方程为y28x.故选B.【答案】B2设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x【解析】由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),点M(x0,y0),则,.由已知得,0,即y8y0160
2、,因而y04,M.由|MF|5,得5,又p0,解得p2或p8.故C的方程为y24x或y216x.故选C.【答案】C3(2014湖南高考)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则_.【解析】正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b,O为AD的中点,C,F.又点C,F在抛物线y22px(p0)上,解得1.【答案】11抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程2求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条
3、件确定p值即可(2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量考向2抛物线的定义及应用命题角度1到焦点的距离与到准线的距离的转化1(2014全国卷)已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|x0,则x0()A4 B2 C1 D8【解析】如图,F,过A作AA准线l,|AF|AA|,x0x0x0,x01.【答案】C命题角度2到焦点与定点距离之和最小问题2已知抛物线的方程为x28y,F是焦点,点A(2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|PA|的值最小【解】(2)20)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|3.求抛物线E的方程;已知点
4、G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切【解析】(1)抛物线y22px的准线为直线x,而点A(2,3)在准线上,所以2,即p4,从而C:y28x,焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2),代入y28x得y2y2k30(k0),由于14(2k3)0,所以k2或k.因为切点在第一象限,所以k.将k代入中,得y8,再代入y28x中得x8,所以点B的坐标为(8,8),所以直线BF的斜率为.【答案】D(2)法一由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3,即23,解得p2,所以抛物线E的方程为y24x.因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所
5、以m2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),所以kGA,kGB,所以kGAkGB0,从而AGFBGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切法二同法一设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所以m2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),故直线GA的方程为2x3y20,
6、从而r.又直线GB的方程为2x3y20,所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|x1x2p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解决提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解变式训练1.已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,抛物线
7、C与直线l1:yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|PB|,求FAB的面积【解】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,8),(8)22p8,2p8,抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:xym,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0,6432m0,m2.y1y28,y1y28m,x1x2m2.由题意可知OAOB,即x1x2y1y2m28m0,m8或m0(舍),直线l2:xy8,M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.