1、第八章 平面解析几何 8.7 抛物线 考向归纳考向1抛物线的准线方程及几何性质1.已知抛物线的焦点在x轴上，其上一点P(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】依题意得，(3)5，p4.抛物线方程为y28x.故选B.【答案】B2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x【解析】由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160
2、，因而y04，M.由|MF|5，得5，又p0，解得p2或p8.故C的方程为y24x或y216x.故选C.【答案】C3(2014湖南高考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.【解析】正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，C，F.又点C，F在抛物线y22px(p0)上，解得1.【答案】11抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程2求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条
3、件确定p值即可(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量考向2抛物线的定义及应用命题角度1到焦点的距离与到准线的距离的转化1(2014全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A4 B2 C1 D8【解析】如图，F，过A作AA准线l，|AF|AA|，x0x0x0，x01.【答案】C命题角度2到焦点与定点距离之和最小问题2已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小【解】(2)20)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.求抛物线E的方程；已知点
4、G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【解析】(1)抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.【答案】D(2)法一由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所
5、以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切法二同法一设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，
6、从而r.又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解决提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解变式训练1.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线
7、C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积【解】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.