1、高考资源网（） 您身边的高考专家高 三 数 学（第8讲）主讲教师：孙福明主审教师：高三数学组一、 本讲进度 第二章 极限与导数复习二、 本讲主要内容本章主要内容是极限和导数的概念与运算法则，以及导数在几何、函数等方面的应用。 （1）极限是本章也是整个微积分的基础概念,它包括数列极限和函数极限，它们都是是在无限变化过程中（n，x或xx0）的变化趋势，这一共同点决定了两类极限有类似的运算性质；如果两个数列（或函数）有极限，那么它们的和、差、积、商的极限分别等于这两个数列（或函数）的极限的和、差、积、商（作为除数的数列或函数的极限不能为0）。其原因在于无穷数列an是定义域为N+的特殊函数an=f(n
2、)，数列的极限是函数极限=A的特例。极限概念及运算性质决定了确定极限的两种方法：一是利用数形结合思想，从量变中认识质变的数学思想方法，即极限方法。利用极限的方法求出了变速直线运动的瞬时速度与曲线上某点的切线方程，并从中抽象出函数的导数概念。导数是一种特殊的函数极限，x0变化时，f(x0)就是导函数，二是利用极限的运算法则，可推导出最常用的导数公式与运算法则：c=0（c为常数），(xn)=nxn-1（nN+），f(x)g(x)=f(x)g(x)，cf(x)=cf(x)，进一步可以求出所有多项式函数的导数。 （2）导数f(x)是函数平均变化率的极限，瞬时速度、切线斜率、经济学中的边际成本都与平均变
3、化率有关，因而导数有广泛的作用。 （3）本章思想方法 极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想； 数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等。三、 典型例题例1、 求下列极限 （1） （2）解题思路分析：（1） 因分子及分母的次数随n增大而增加，故不能利用运算性质。先求和化简。 （2） 当x1时，及均无意义，应约去因式x-1 说明：函数在x=1 无定义，但与存在无关。一般地有下列结论：如果f(x)=x0处无定义，g(x)在x=x0处有定义并存在极限，且当xx0时，f(x)=g(x)，则。例2、设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为
4、12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。解题思路分析： P（0，d） 曲线在点P处切线为12x-y-4=0 x=0时，y=d d=-4 y=3ax2+2bx+c y|x=0=c又切线斜率k=12 c=12又函数在x=2处取得极值0 函数解析式y=2x3-9x2+12x-4例3、偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2（1） 求y=f(x)的解析式；（2） 求y=f(x)的极大（小）值。解题思路分析： f(x)是偶函数 b=d=0又图象过P（0，1） e=1此时f(x)=ax4+cx2+1 y=4ax3
5、+2cx y|x=1=4a+2c=1 又切点（1，-1）在曲线上 a+c+1=-1 由得： f(x)= （2）f(x)=10x3-9x=0 x=0，x=列表可得：时，f(x)极小= x=0时，f(x)极大=1例4、曲线上哪一点的法线在y轴上截距最小？（法线是指过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线）解题思路分析：在曲线上任取一点（x0，y0），则过该点切线的斜率为k=2x05 法线的斜率为 法线方程y-y0=令x=0，使法线在y轴上的截距 令y=0，得x0=1当x0-1时，y0，y单调递减当-1x00，y单调递增当0x01时，y1时，y0，则y单递增 当x0=1时，此时点（1，）例5、研究
6、函数f(x)=ax3+bx2-x+1的单调性（a0）解题思路分析： 1、a0时，由f(x)0得或 得 f(x)在（-，+）上单调递增；在上单调递减。2、当a0，x0 0x0时，f(0)为极大值C、b=0 D、当a0，f(0)0，则=_。15、 抛物线y=x2上点切线和直线3x-y+1=0的交角为450，则点P坐标为_。 16、两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为_。（三） 解答题17、（10分）已知无穷数列an存在极限，且，求。18、（12分）设函数，求的值。19、（12分）已知曲线C1：y=ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y=bx3上点A（
7、1，b）处的切线为l2，且l1l2，垂足M（2，2），求a、b的值及点P的坐标。20、（12分）求函数f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1内的最大值。21、（14分）证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数。22、（14分）已知曲线S：y=x3+px2+qx的图象与x轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值-4，求p、q的值。五、 参考答案 （一）选择题1、A 2、D 3、C 4、C 5、B 6、A 7、B 8、D 9、B10、C 11、B 12、C （二）填空题13、a=b=1 14、 15、（-1，1）或（） 16、5与43 （三）解答题17、
8、3分 6分 9分 10分18、 4分 8分 12分19、设P（t，at2），则l1斜率k1=2at l1：y-at2=2at(x-t) 2分 l2斜率k2=3bx2|x=1=3b l2：y-b=3b(x-1) 4分 l1与l2于点M（2，2） 又l1l2 k1k2=0 8分由得t=10，a=- P(10,-) 10分20、 4分令f(x)=0得，x=0，x=1，x= 6分在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， 10分 12分21、设双曲线上任一点P（x0，y0） 4分 切线方程 6分令y=0，则x=2x0 8分令x=0，则 10分 12分22、y=3x2+2px+q 2分令y=0，设3x2+2px+q=0两根为x1,x2，x1x2，列表：x（-，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）y+0-0+y极大值极小值 S与x轴相切于点（x1，0），点（x2，-4）在S上 6分 x13+px12+qx1=0 x23+px22+qx1=-4 8分 3x12+2px1+q=0 3x22+2px2+q=0 x1-得：x1= x2-得：2x23+px22=4 10分 又x1+x2=-p x2=p，p=6 12分 x1=-3，x2=-1 p=6，q=9 14分- 8 - 版权所有高考资源网
