1、24正态分布内容标准学科素养1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2.了解变量落在区间(，)，(2，2)，(3，3)的概率大小3.会用正态分布去解决实际问题.通过数据分析提升数学建模数学运算授课提示：对应学生用书第45页基础认识知识点一正态曲线与正态分布知识梳理1.正态曲线函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(
2、，2)知识点二正态曲线的性质知识梳理正态曲线，(x)e，xR有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图.知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3原则知识梳理P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4.由P(3X3)0.997 4，知正态总体几乎总取值于区间(
3、3，3)之内而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，并简称之为3原则自我检测1若正态分布密度函数，(x)e，x(，)，则参数，的值分别是()A3，2B3，2C3， D3，答案：D2若随机变量XN(，2)，且P(Xa)P(Xa)，则a的值为()A0 BC D答案：B3已知随机变量X服从正态分布N(2,1)，则P(X1)_.答案：0.158 7授课提示：对应学生用书第46页探究一正态曲线的图象的应用阅读教材P74练习1某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示
4、，成绩X位于区间(52,68的概率是多少？解析：由密度曲线知，均值60，P(52x68)P(608x608)0.682 6.例1如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差解析从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所以20.由，解得.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)e，x(，)，随机变量总体的均值是20，方差是2()22.方法技巧利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式跟踪探究1.某市教
5、学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲、乙、丙总体的平均数不相同解析：本题考查，的意义以及它们在正态曲线中的作用由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，故选A.答案：A探究二利用正态分布的对称性求概率阅读教材P75习题2.4B组2题若XN(5,1)，求P(6X7)解析：由题意知5，1P(6X7)P(5X7)P(5X6)(0.954 40.682 6)0.135 9.例2设XN(
6、1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)解析因为XN(1,22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)1P(3X5)1P(14X14)0.022 8.方法技巧利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间上概率相等如：P(Xa)1P(Xa)P(Xa)P(Xa)(2
7、)“3”法：利用X落在区间(，(2，2，(3，3内的概率分别是0.682 6、0.954 4、0.997 4求解延伸探究本例条件不变，若P(Xc1)P(Xc1)，求c的值解析：因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x1对称又P(Xc1)P(Xc1)，因此1，即c1.跟踪探究2.已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6B0.4C0.3 D0.2解析：随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6.P(02)0.3.故选C.答案：C3设N(1,1)，试求：(1)P(02)；(2
8、)P(23)；(3)P(3)解析：N(1,1)，1，1.(1)P(02)P(1111)P()0.682 6.(2)P(23)P(10)，P(23)P(13)P(02)P(1212)P(1111)P(22)P()(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(3)P(1)，P(3)1P(1212)1P(22)(10.954 4)0.022 8.探究三正态分布的实际应用阅读教材P75习题2.4A组2商场经营的某种包装的大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.810.2 kg的概率是多少？解析：设商场经营的某种包装的大米质量为x kg.由题意知X
9、N(10,0.12)10，0.1，P(9.8X10.2)P(100.2X100.2)0.954 4，任选一袋这种大米，质量在9.810.2 kg的概率为0.954 4.例3有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在2426 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解析(1)XN(20,4)，20，2，18，22，于是尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.(2)314，326，216，224，尺寸在2426 mm间的零件所占的
10、百分比大约是2.15%.因此尺寸在2426 mm间的零件大约有5 0002.15%108(个)方法技巧解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想跟踪探究4.在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在8085分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？解析：成绩服从正态分布N(80,52)，80，5，则75，85，成绩在(75,85内的同学占全班同学的68.26%，成绩在(80,85内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x人，则x34.13%17，解
11、得x50.2801070，2801090，成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有502.28%1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人授课提示：对应学生用书第47页课后小结(1)理解正态分布的概念和正态曲线的性质(2)正态总体在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点a正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等bP(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)，若b，则P(Xb).素养培优因对正态曲线的对称性认识不够而致错已知XN(，2)，且P(X0)P(X4)1，则_.易错分析：对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(Xa)P(Xa)1这一结论考查数据分析、数学运算的学科素养自我纠正：因为P(X0)P(X4)1，又P(X4)P(X4)1.所以P(X0)P(X4)因此正态曲线的对称轴为x2.所以2.答案：2
