1、第四节函数与方程选题明细表知识点、方法题号函数零点所在区间的确定1函数零点及个数的确定2,3,7,9,10,11知零点及个数确定参数的取值5,12函数零点的综合问题4,6,8,13,14,15一、选择题1.在下列区间中,函数f(x)=3x-x-3的一个零点所在的区间为(B)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:由已知得f(0)=30-0-3=-20,f(1)=3-1-3=-10,所以f(1)f(2)0,所以一个零点所在区间为(1,2).2.函数f(x)=ex+3x的零点个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:易知f(x)=ex+3x在R上单调递增,又因
2、为f(-1)=e-1-30,所以函数只有一个零点,故选B.3.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:f(x)的零点个数,即2x|log0.5x|-1=0根的个数,方程变形得|log2x|=()x,所以函数零点个数即y=|log2x|与y=()x图象的交点个数,如图由两函数图象知交点个数为2,所以f(x)零点个数为2.故选B.4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c且0f(-1)=f(-2)=f(-3)3,则(C)(A)c3 (B)3c6(C)69解析:由f(-1)=f(-2)=f(-3),可令f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)
3、+k,则0k3,(x+1)(x+2)(x+3)+k=x3+ax2+bx+c,所以c=k+6,故6c9.故选C.5.已知xR,符号x表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=-a(x0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是(A)(A)(,)(B),(C)(,)(D),解析:当0x1时,f(x)=-a=-a,1x2时,f(x)=-a=-a,2x3时,f(x)=-a=-a,f(x)=-a的图象是把y=的图象进行纵向平移而得到的,画出y=的图象,如图所示,通过数形结合可知a(,).故选A.6.已知关于x的方程e-x+2=|ln x|的两个实数解为x1,x2(x1x2),则(B)(A)0x1x2e-1(B)
4、e-1x1x21(C)x1x2=e-1(D)以上答案都不对解析:画出y=e-x+2与y=|ln x|的图象如图,两图象的交点,即是方程的根,由图知,0-1,又+2=-ln x1,+2=ln x2,两式相减可得0-=-ln x1x21,-1ln x1x20,e-1x1x20.那么f(x)的零点是;若f(x)的值域是-,2,则c的取值范围是.解析:当x0时,令=0,得x=0,当x0时,令x2+x=0,得x=-1或x=0(舍去),所以f(x)的零点是-1和0,因为函数y=x2+x=(x+)2-,在区间-2,-)上是减函数,在区间(-,0)上是增函数,所以当x-2,0)时,函数f(x)最小值为f(-)
5、=-,最大值是f(-2)=2.当0xc时,f(x)=是增函数且值域为0,因为f(x)的值域是-,2,所以2,即00时,由f(x)=2,得ex-3=2x=ln 5;当x0时,由f(x)=2,得-x2-2x+1=2x=-1f(f(x)=2的解的个数即为f(x)=ln 5与f(x)=-1的解的个数之和.如图所示.1ln 52,f(x)=ln 5有3个解,f(x)=-1有2个解.故方程f(f(x)=2有5个解.答案:e-3512.已知f(x)=且函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是. 解析:当x0时,f(x)=(x+1)2-,把函数f(x)在-1,0)上的图象向右平移一个单位
6、即得函数y=f(x)在0,1)上的图象,继续右移可得函数f(x)在0,+)上的图象.如果函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,即函数y=f(x),y=-ax的图象有三个不同的交点,实数a应满足-a-a,即a或-0且a1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga,记F(x)=2f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的定义域及其零点;(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.解:(1)F(x)=2f(x)+g(x)=2loga(x+1)+loga(a0,a1),由解得-1x0,a1),所以m=loga=loga(1-x+-4),am=1-x
7、+-4,设1-x=t(0,1,则函数y=t+在区间(0,1上是减函数,当t=1,即x=0时,ymin=5,所以am1,若a1,则m0,方程有解;若0a1时,m的取值范围是0,+);当0a1时,m的取值范围是(-,0.15.设函数f(x)=x2-(3-a)x+a.(1)当a=2时,对任意x0,2,f(x)m恒成立,求m的取值范围;(2)若函数f(x)在x0,2有两个不同的零点,求两个零点之间距离的最大值,并求此时a的值.解:(1)当a=2时,f(x)=x2-x+2,因为对任意x0,2,f(x)f(x)max,由二次函数知识,知f(x)=x2-x+2,x0,2的最大值为f(2)=4,所以m4,即m的取值范围为(4,+).(2)设函数f(x)的两个不同的零点为x1,x2,则方程x2-(3-a)x+a=0的两个不等的实根为x1,x2,所以(3-a)2-4a0,所以a9,又因为两根在0,2内,所以所以a1,所以x1+x2=3-a,x1x2=a,|x1-x2|=,因为a,1),所以当a=时,|x1-x2|max=.
