1、高考大题专项练六高考中的概率、统计与统计案例高考大题专项练第12页1.某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样的方法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样的方法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的平均值x和方差s2;(3)
2、求这36名工人中年龄在(x-s,x+s)内的人数所占的百分比.解:(1)把工厂36名工人的年龄数据分为9组,每组4人.在第一分段里抽到的年龄数据44对应的编号为2,故抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)得,x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1009.(3)由(2)得x=
3、40,s=103,则x-s=3623,x+s=4313.由表可知,这36名工人中年龄在(x-s,x+s)内共有23人,所占的百分比为2336100%63.89%.2.某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图如图所示.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额
4、的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解:(1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至20
5、16年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,写出其中任意一种或其他合理理由均可)3.(2019云南陆良八中高三一测)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考
6、试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:40,50),50,60),90,100后得到如图的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生1 000人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数.(3)若从样本中数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取2名学生,试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率.解:(1)由频率分布直方图,得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,解得a=0.03.(2)数学成绩不低于60分的概率为0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,数学成绩不低于6
7、0分的人数为1 0000.85=850(人).(3)数学成绩在40,50)的学生人数为400.05=2(人),设数学成绩在40,50)的学生为A,B,数学成绩在90,100的学生人数为400.1=4(人),设数学成绩在40,50)的学生为a,b,c,d,从样本中数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取2名学生,基本事件有:AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd,其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有:Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,共8种,这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率为815.4.某商场经销某一种电器
8、商品,在一个销售季度内,每售出一件该电器商品获利200元,未售出的商品,每件亏损100元.根据以往资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示,现在经销商为下一个销售季度购进了125件该种电器,以n(单位:件,95n155)表示下一个销售季度内市场需求量,Y(单位:元)表示下一个销售季度内销售该电器的利润.(1)将Y表示为n的函数;(2)求频率分布直方图中a的值;(3)根据直方图估计利润Y不少于22 000元的概率.解:(1)依题意知下一个销售季度内经销该电器所获利润Y与需求量n之间的关系为Y=200n-100(125-n),95n125,125200,126n155.(2)由0.0
9、10102+a10+0.01810+0.02210+0.02410=1,求得a=0.016.(3)而300n-10012522 000,知n115(件).由频率分布直方图可知P(n115)=1-0.1-0.16=0.74,故估计利润Y不少于22 000元的概率为0.74.5.(2019天津,文15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多
10、少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,
11、F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种.由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.6.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理
12、由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二
13、种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间
14、相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(以上给出了4种理由,写出其中任意一种或其他合理理由均可)(2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2=40(1515-55)220202020=106.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.7.(2019北京,文17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 0
15、00名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.解:(1)由
16、题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为401001 000=400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则P(C)=125=0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000 元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.
