1、第五节函数y=Asin(x+)的图象与性质(二) 选题明细表知识点、方法题号函数y=Asin(x+)的奇偶性、周期性1,2函数y=Asin(x+)的对称性、单调性2,6,8,15由性质求函数y=Asin(x+)的解析式4,7,11三角函数图象与性质的综合应用3,5,9,10,12,13,14一、选择题1.在函数y=cos |2x|,y=|cos x|,y=cos(2x+),y=tan(2x-)中,最小正周期为的所有函数为(A)(A)(B)(C) (D)解析:y=cos|2x|,最小正周期为;y=|cos x|,最小正周期为;y=cos(2x+),最小正周期为;y=tan(2x-),最小正周期为
2、,所以最小正周期为的所有函数为,故选A.2.当x=时,函数f(x)=sin(x+)取得最小值,则函数y=f(-x) (C)(A)是奇函数且图象关于点(,0)中心对称(B)是偶函数且图象关于点(,0)对称(C)是奇函数且图象关于直线x=对称(D)是偶函数且图象关于直线x=对称解析:因为当x=时,函数f(x)取得最小值,所以sin(+)=-1,所以=2k-(kZ).所以f(x)=sin(x+2k-)=sin(x-).所以y=f(-x)=sin(-x)=-sin x.所以y=f(-x)是奇函数,且图象关于直线x=对称.故选C.3.已知a是实数,则函数y=f(x)=1+asin ax的图象可能是(B)
3、解析:三角函数的周期为T=,观察选项,振幅大于1的有B,D,振幅小于1的有A,C,当振幅大于1时,|a|1,则T2,D不符合要求;对于B,振幅大于1,周期小于2,符合要求;对于A,应该|a|2,但此图周期恰为2,不可能;对于C,-1a1,图象不满足此要求.故选B.4.若函数y=2cos x在区间0,上递减,且有最小值1,则的值可以是(B)(A)2(B)(C)3(D)解析:由y=2cos x在0,上是递减的,且有最小值为1,则有f()=1,即2cos()=1,即cos =.经验证,得出选项B符合.故选B.5.已知函数f(x)=2cos(x+)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x)成立,且f()
4、=1,则实数b的值为(C)(A)-1 (B)3(C)-1或3(D)-3解析:由f(x+)=f(-x)可知函数f(x)=2cos(x+)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故2+b=1,所以b=-1或b=3.故选C.6.已知函数f(x)=sin(2x+),其中|f(),则f(x)的单调递增区间是(C)(A)k-,k+(kZ)(B)k,k+(kZ)(C)k+,k+(kZ)(D)k-,k(kZ)解析:因为当xR时,f(x)|f()|恒成立,所以f()=sin(+)=1,又|f()=sin(2+)=sin ,故sin 0,0,|)的图象与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(1,0),
5、PQR=,M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为(C)(A)2(B)(C)(D)4解析:依题意得,点Q的横坐标是4,R的纵坐标是-4,T=2|PQ|=6,=,Asin =-4,f()=Asin(+)=A0,即sin(+)=1.又|,所以+,因此+=,=-,Asin(-)=-4,A=.故选C.8.(2018全国卷)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是(A)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=cos x-sin x=-(sin x-cos x)=-sin(x-),当x-,即x-,时,y=sin(x-)单调递增,y=-sin(x-)单调递减.因为函数f(x)在
6、-a,a是减函数,所以-a,a-,所以00,0,|)的部分图象如图所示,则=;函数f(x)在区间,上的零点为.解析:由题图得A=2,T=,所以=2.故f(x)=2sin(2x+).因为点(,2)在函数的图象上,所以f()=2sin(+)=2,因此sin(+)=1,又|0,w0,|)在一个周期内的简图如图所示,则函数的解析式为,方程 f(x)=m(其中1m0,w0,|)在一个周期内的图象,可得A=2,f(0)=2sin =1,即sin =,所以=,再根据五点法作图可得+=,求得=2,故函数f(x)=2sin(2x+).因为函数f(x)=2sin(2x+)在0,3内与直线 y=m(1m2)有六个交
7、点,它们分别关于直线x=,x=,x=对称,则所有解的和为2+2+2=7.答案:f(x)=2sin(2x+)712.函数y1=的图象与函数y2=2sin x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和为.解析:函数y1=与y2=2sin x的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图所示,根据它们有公共的对称中心(1,0),可得xA+xD=xB+xC=2,故所求的横坐标之和为4.答案:413.已知函数y=f(x)=cos(3x+),其中x,m,若f(x)的值域是-1,-,则m的取值范围是.解析:画出函数的部分图象如 图所示.由x,m,可知3x+3m+,F()=cos =-且f()=cos
8、=-1,要使f(x)的值域是-1,-,只要m,即m,.答案:,三、解答题14.已知函数f(x)=sin(x+)-cos(x+)(00)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f()的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.解:(1)f(x)=sin(x+)-cos(x+)=2sin(x+)-cos(x+)=2sin(x+-).因为y=f(x)=2sin(x+-)是偶函数,所以-=k+,kZ.又0,所以-=.所以f(x)=2sin(x+)=2c
9、os x.由题意得=2,所以=2.故f(x)=2cos 2x.因此f()=2cos=.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到f(x-)的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到f(-)的图象.所以g(x)=f(-)=2cos2(-)=2cos(-).当2k-2k+(kZ),即4k+x4k+(kZ)时,g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为4k+,4k+(kZ).15.已知向量m=(1,sin(x+),n=(2,2sin(x-) (其中为正常数).(1)若=1,x,求mn时tan x的值;(2)设f(x)=mn-2,若函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为,求f(x)在区间上的最小值.解:(1)mn时,sin(x-)=sin(x+),sin xcos -cos xsin =sin xcos +cos xsin ,sin x-cos x=sin x+cos x,sin x=cos x,所以tan x=2+.(2)f(x)=2sin(x-)sin(x+)=2sin(x-)cos =2sin(x-)cos(x-)=sin(2x-).因为函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为,所以f(x)的最小正周期为,又为正常数,所以=,解得=1.故f(x)=sin(2x-).因为x,所以-2x-.故当2x-=-,即x=0时,f(x)取最小值-.
