1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十五)基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列不等式:a2+12a;2;x2+1,其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.不正确,正确,x2+=(x2+1)+-12-1=1.2.(2013福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.22x+2y=1,所以2x+y,即2x+y2-2,所以x+y-2.3.(2015马鞍山模拟)设x0,y0,且2x+y=6,则9x+3y有()A
2、.最大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54【解析】选D.因为x0,y0,且2x+y=6,所以9x+3y2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是()A.B.C.D.【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab=.5.(2015黄冈模拟)若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是()A.-1,2B.1,2C.-1,1D.-2,2
3、【解析】选A.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)20,所以x2+y2+z2xy+xz+yz,所以xy+yz+zx2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)0,所以xy+xz+yz-(x2+y2+z2)=-1.综上可得:-1xy+xz+yz2.故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015青岛模拟)下列命题中正确的是(填序号).y=2-3x-(x0)的最大值是2-4;y=sin2x+的最小值是4;y=2-3x-(x0)的最小值是2-4.【解析】正确,因为y=2-3x-=2-2-2=2-4.当且仅当3x=,即x=时等号成立.不正确,令sin2x=t,则0t1
4、,所以g(t)=t+,显然g(t)在(0,1上单调递减,故g(t)min=g(1)=1+4=5.不正确,因为x0,最小值为2+4,而不是2-4.答案:【误区警示】此题容易出现答案为,是因为做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.7.(2013四川高考)已知函数f(x)=4x+(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.【解析】由题f(x)=4x+(x0,a0),根据基本不等式4x+4,当且仅当4x=时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.答案:368.已知x,y为正实数,3x+2y=10,+的最大值为.【解析】由得+=2,当且仅当x=,y=时取等号.答案:2【一题
5、多解】此题还可以这样解:设W=+0,W2=3x+2y+2=10+210+()2+()2=10+(3x+2y)=20,所以W=2,当且仅当x=,y=时等号成立.答案:2三、解答题9.(10分)(2015淄博模拟)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)?【解析】方法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k为比例系数,且k0
6、,依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a0,b0),所以b=(0a0,依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a0,b0),即2b+ab+a=30,因为a+2b2,所以30-ab=a+2b2.所以ab+2-300.因为a0,b0,所以00,b0,且ln(a+b)=0,求+的最小值.(2)求x(8-3x)(0x0,b0,所以+=+=2+2+2=4,当且仅当a=b=时,等号成立,故+的最小值为4.(2)因为0x0,b0,+=1,所以a+b=(a+b)=10+10+2=16,由题意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任
7、意实数x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.【加固训练】(2014闵行模拟)若不等式(x+y)+16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.【解析】因为不等式(x+y)16对任意正实数x,y恒成立,所以16.令f(x)=(x+y)(a0),则f(x)=a+4+a+4+2=a+4+4,当且仅当=时取等号,所以a+4+416,解得a4,因此正实数a的最小值为4.答案:44.(12分)(2015郑州模拟)若a0,b0,且+=.(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)因为a0
8、,b0,且+=,所以=+2,所以ab2,当且仅当a=b=时取等号.因为a3+b322=4,当且仅当a=b=时取等号,所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)可知,2a+3b2=246,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(能力挑战题)为了降低能耗,新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0x10),若不建隔热层,每年能耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.【解析】(1)当x=0时,C(0)=8,即=8,所以k=40,所以C(x)=,所以f(x)=6x+=6x+(0x10).(2)f(x)=6x+=2(3x+5)+-102-10=70.当且仅当2(3x+5)=,即x=5时等号成立,因此最小值为70,所以当隔热层修建5cm厚时总费用最小,最小值为70万元.关闭Word文档返回原板块
