1、121总体和个体第一课时 总体、个体和总体均值 样本与样本均值1总体、个体(1)所要调查对象的全体叫作总体(2)把总体中的每个成员叫作个体2总体均值总体平均是总体的平均值，也称为总体均值，常用 表示总体均值3样本(1)从总体中抽取一部分个体，称这些个体为样本，也叫作观测数据(2)构成样本的个体数目为样本容量，简称样本量(3)从总体抽取样本的工作为抽样4样本均值(1)样本均值是样本的平均值，用 x表示(2)总体均值是总体的指标，是一个固定的量但是样本均值依赖于样本的选择，不同的样本有不同的样本均值5总体的估计对于较大的样本容量 n，样本的均值 x会接近，于是，x是总体均值 的近似，称为 的估计1
2、当总体所包含的个体很多的时候，如何求得总体的平均数？提示：用样本的平均数去估计总体的平均数2每个数据增加相同的量，数据的均值如何变化？提示：数据的均值也增加相同的量3用样本的均值估计总体的均值合理吗？提示：只要抽样合理，用样本的均值估计总体的均值是合理的求总体与样本的均值某工厂人员及工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒周工资(元)2 200250220200100人数165101求表中周工资的平均数解 设平均数为，则2 20062505220102001100165101300(元)平均数反映了一组数据整体水平，平均数的大小与一组数据中每个数据均有联系，任何一个数据的变动都会相应引起
3、平均数的变动1从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：哪种玉米的苗长得较高？解：x甲 110(25414037221419392142)11030030(cm)，x乙 110(27164427441640401640)11031031(cm)所以 x甲 x乙所以乙种玉米的苗长得较高用样本的均值估计总体的均值为估计一次性木质筷子的用量，2016 年从某县共 600 家高、中、低档饭店中随机抽取 10 家进行调查，这 10 家饭店每天消耗
4、的一次性筷子盒数分别为：06 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1)通过对样本的分析，估计该县 2016 年消耗了多少盒一次性筷子(每年按 350 个营业日计算)；(2)2018 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查数据显示，所抽查的 10 家饭店，每家饭店平均每天使用一次性筷子 2.42 盒求该县 2017 年、2018 年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2017 年、2018 年该县饭店数、全年营业天数均与 2016 年相同)解(1)x 110(0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0)2.0，
5、所以，估计该县 2016 年消耗一次性筷子为 2.0600350420 000(盒)(2)设平均每年增长的百分率为 x，则 2.0(1x)22.42，解得 x10.110%，x22.1(不合题意，舍去)所以平均每年增长的百分率为 10%.,1当总体中个体数较多时，可通过合理抽取样本，用样本的均值来估计总体的均值2对于(2)，实际上是一个增长率问题的应用题，可通过设未知数列方程的方法求解2为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：天数151180181210211240241270271300301330331360
6、361390灯管数1111820251672试估计这种日光灯的平均使用天数解：各组的组中值分别为 165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得平均数约为 1651%19511%22518%25520%28525%31516%3457%3752%267.9268(天)估计这种日光灯的平均使用天数约为 268 天随堂体验落实1某次考试有 70 000 名学生参加，为了了解这 70 000 名考生的数学成绩，从中抽取 1 000 名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是()A1 000 名考生是总体的一个样本B70 000 名考生是总体C样本容量是 1 000D以
7、上说法都不对解析：选 C 由于考察的对象是考生的数学成绩，因此 A、B 错误，抽取的样本数为样本容量，因此 C 正确故选 C.2已知 10 个数据：1 203,1 201,1 194,1 200,1 204,1 201，1 199，1 204,1 195,1 199，则这 10 个数据的平均数是()A1 300 B1 200C1 100D1 400解析：选 B 设平均数为 x，则 x 110(1 20321 2011 1941 20021 20421 1991 195)1 200.3若 M 个数的平均数是 X，N 个数的平均数是 Y，则 MN 个数的平均数是()A.XY2B.XYMNC.MXN
8、YMND.MXNYXY解析：选 C 设 MN 个数的平均数为 x，则 xXMYNMN.4从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽出 8 件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，结果如下表：甲345688810乙4666891213丙33479101112估计三个厂家的这种产品的寿命分别是_、_、_.解析：x甲3456831086.5，x乙43689121388，x丙2347910111287.375.答案：6.5 8 7.3755如果两组数 x1，x2，xn 和 y1，y2，yn 的平均数分别为 x和 y，那么一组数据 x1y1，x2y2，xnyn 的平均数是_解析：设 x1y1，x2
9、y2，xnyn 的平均数为，x1y1x2y2xnynnn x n yn x y.答案：x y6甲、乙两台包装机同时包装质量为 200 克的糖果，从中各抽出 10 袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：甲 203 204 202 196 199 201 205 197 202 199乙 201 200 208 206 210 209 200 193 194 194(1)分别计算两个样本的平均数(2)从计算结果看，哪台包装机包装的 10 袋糖果的平均质量更接近于 200 克？解：(1)x 甲 110(3424115321)200200.8.x 乙 110(10861090766)200201.5
10、.(2)x 甲 x甲，乙的成绩较高且稳定第二课时 方差和标准差1总体方差当 y1，y2，yN 是总体的全部个体，是总体均值时，称2y12y22yN2N.是总体的平均平方误差，简称总体方差或方差2样本方差给定 n 个观测数据 x1，x2，xn，用 x表示这 n 个数据的均值，称 s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2为这 n 个数据的样本方差，也简称为方差3方差计算公式s21n(x21x22x2n)x2.4标准差(1)标准差是方差的算术平方根(2)如果 s2 是样本方差，s s2是样本标准差(3)如果 2 是总体方差，2是总体标准差1现实中的总体所包含个体数往往是很多的，如何求总体的
11、方差和标准差？提示：用样本的方差和标准差去估计总体的方差和标准差，只要样本的代表好，这样做就合理，也是可以接受的2方差和标准差反映了样本数据的什么特点？提示：方差和标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散标准差越小表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中3标准差的取值范围是什么？标准差为 0 的样本数据有什么特点？提示：标准差的取值范围是0，)，标准差为 0 意味着所有样本数据都相等求总体和样本的方差甲乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人
12、的训练成绩作出评价解(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分；乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分x甲1013121416513(分)，x乙1314121214513(分)，s2甲15(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s2乙15(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由 s2甲s2乙可知乙的成绩较稳定从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高1平均数与方差都是重要的数字特征，是对总
13、体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，方差描述波动大小2平均数、方差的公式推广(1)若数据 x1，x2，xn 的平均数为 x，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是 m xa.(2)数据 x1，x2，xn 的方差为 s2.数据 x1a，x2a，xna 的方差也为 s2；数据 ax1，ax2，axn 的方差为 a2s2.1甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估
14、计一下两名战士的射击情况解：(1)x甲7 环，x乙7 环，(2)s2甲3.0，s2乙1.2.(3)甲、乙两名战士射靶 10 次的平均数相等，说明甲、乙两名战士平均水平相当，由s2甲s2乙，说明乙战士比甲战士发挥稳定，成绩波动小求总体和样本的标准差一名射击运动员射击 8 次所中环数如下：99 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7(1)8 次射击平均环数 x是多少？标准差是多少？(2)环数落在 xs 与 xs 之间的有几次？所占百分比是多少？解(1)x9.910.329.810.110.4109.78808 10.s180.120.3220.220.120.420.32 0.
15、0550.235.(2)xs100.2359.765，xs10.235，故落在 xs 与 xs 之间的有 5 次，所占百分比为 62.5.1在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差2平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏差，应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题2为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学的 50 名男生的身高进行了测量，结果见下表(单位：cm)：175 178 170 176 167 171 162 173 171 177179 17
16、2 165 157 172 173 166 177 169 181160 163 166 177 175 174 173 174 171 171158 170 165 175 165 174 169 163 166 166174 172 166 172 167 172 175 161 173 167(1)计算样本平均数和标准差；(2)由样本数据估计总体中有多少数据落入(xs，xs)区间解：(1)由计算器计算得到 x170.1，s5.5；(2)x170.1，s5.5，区间(xs，xs)为(164.6,175.6)由上表可知，落在区间(164.6,175.6)的数据有 36 个，样本数据有 72%
17、的数据落在区间(164.6,175.6)内，因此估计总体中有 72%的数据落在区间(164.6,175.6)随堂体验落实1描述总体离散程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量可估计总体稳定性的是()A样本平均值 x B样本方差C样本最大值D样本最小值解析：选 B 利用样本的方差和标准差能估计总体的稳定性2若样本 1x1,1x2,1x3，1xn 的平均数是 10，方差为 2，则对于样本 2x1,2x2，2xn，下列结论正确的是()A平均数是 10，方差为 2B平均数是 11，方差为 3C平均数是 11，方差为 2D平均数是 10，方差为 3解析：选 C 若 x1，x2，xn 的平均数为 x，方
18、差为 s，那么 x1a，x2a，xna 的平均数为 x a，方差为 s.3样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1，则样本方差为()A.65B.65C.2D.2解析：选 D a12351，a1.s215(11)2(1)202122215102.4数据 70,71,72,73 的标准差是_解析：x70717273471.5，s147071.527171.527271.527371.52 52.答案：525随机调查某校 50 个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费(元)678人数102020这 50 个学生的午餐费的平均值和方差分别是_，_.解析：根据题意，计算这
19、50 个学生午餐费的平均值是x 150(610720820)7.2，方差是 s2 15010(67.2)220(77.2)220(87.2)20.56.答案：7.2 0.566对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽 5 门功课，得到的观测值如下：甲6080709070乙8060708075问：谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？解：x甲15(6080709070)74，x乙15(8060708075)73；s2甲15(142624216242)104，s2乙15(72132327222)56.因为 x甲 x乙，s2甲s2乙，所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡感悟高手解题妙
20、解题为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_解析 设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数15(x1x2x3x4x5)7；方差 s215(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)24.从而有 x1x2x3x4x535，(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220.若样本数据中的最大值为 11，不妨设 x511，则式变为：(x17)2(x27)2(x37)2(x47)24，由于样本数据互不相同，这是不可
21、能成立的；若样本数据为 4,6,7,8,10，代入验证知式均成立，此时样本数据中的最大值为 10.答案 10一、选择题1从甲、乙两班分别任意抽出 10 名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为 s2甲13.2，s2乙26.26，则()A甲班 10 名学生的成绩比乙班 10 名学生的成绩整齐B乙班 10 名学生的成绩比甲班 10 名学生的成绩整齐C甲、乙两班 10 名学生的成绩一样整齐D不能比较甲、乙两班 10 名学生成绩的整齐程度解析：选 A s2甲s2乙，甲班学生比乙班的学生成绩整齐稳定2甲、乙两名中学生在一年里各学科成绩的平均分相等，方差不相等，正确评价他们的学习情况是()A因为他们
22、的平均分相等，所以学习水平一样B成绩虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度扎实C表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D平均分相等、方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，成绩忽高忽低解析：选 C 由方差的实际意义可得 C 正确3一组数据的方差为 s2，将这组数据中的每个数据都扩大 3 倍，所得的新数据的方差为()A.13s2 Bs2C3s2D9s2解析：选 D 每个数据都扩大 3 倍，则这组数据的平均数也扩大 3 倍，由 s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn xn)2知方差扩大 9 倍4有一份统计资料，共有 11 个数据如下(不完全以大小排列)
23、：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为 6，则这组数据的方差为()A6 B.6C66D6.5解析：选 A x 111(24455678911x)111(61x)6，x5.方差为：s2 111(4222221212021222325212)66116.二、填空题5已知样本数据 9,10,11，x，y 的平均数是 10，标准差是 2，则 xy_.解析：91011xy50，11(x10)2(y10)210，xy20，x2y220(xy)192，(xy)22xy20(xy)192，xy96.答案：966已知一个样本的方差 s2 110(x14)2(x24)2(x104)
24、2，则这个样本的容量是_，平均数是_解析：样本容量为 10，平均数为 4.答案：10 47数据 a1，a2，a3，an 的方差为 s2，则数据 2a1,2a2,2a3，2an 的方差为_解析：s21ni1n(xi x)2，1ni1n(2xi2 x)241ni1n(xi x)24s2.答案：4s28甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)：品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年甲9.89.910.110.010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品种是_解析：x甲10.0，x乙10.0，s2甲0.02，s2乙0.244，s2甲s2B.在平均数相同的情况下，B 的波动性小，B 的成绩好些(3)从图中折线图走势可知，尽管 A 的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差逐渐减小，而 A 的稳定性变得越来越差，从竞赛的角度考虑，可选派 A 去参赛
