1、2017届高中毕业班联考（二）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则（ ）A B1 C D2.已知集合，则有（ ）A B C D3.如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（ ）A B C D 4.已知函数的定义域为，且，设：函数是偶函数；：函数是奇函数，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件5.已知圆：交轴正半轴于点，在圆上随机取一点，则使成立的概率为（ ）A B C. D6.设，为自然对数的底数，则，的
2、大小关系为（ ）A B C. D7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内，对于下列四个关于的条件的选项，不能填入的是（ ）A BC. D8.集合，若，则的取值范围为（ ）A B C. D9.已知，其中， ，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是（ ）A BC. D10.双曲线：（，）的两条渐近线互相垂直，分别为的左，右焦点，点在该双曲线的右支上且到直线的距离为，若，则双曲线的标准方程为（ ）A B C. D以上答案都不对11.设等差数列的前项和为，已知，则下列选项正确的是（ ）A， B， C.， D，12.设.，则的最小值为（ ）A B1 C. D2第卷（共90分）二、填空题
3、（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中，各项系数的和为，其二项式系数之和为，若64是与的等比中项，则 14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为 15.如图所示，在正方体中，直线与直线所
4、成的角为，直线与平面所成的角为，则 16.若数列满足，则的最小值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，角，的对边分别为，已知，.（1）求边的长；（2）若，点，分别在线段，上，当时，求周长的最小值. 18.当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？及格（）不及格合计很少使用手机经常使用手机合计（2）从50人中，选取一名很少使用手机
5、的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为，若，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记为两人中解决此题的人数，若，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：，其中.0.100.050.0252.7063.8415.02419.如图，在四棱锥中，平面，平面平面，为等腰直角三角形，.（1）证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成二面角的余弦值.20.在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点，是轨迹上相异的两点.（）过点，分别作抛物线的切线，与两条切线相交于点，证明：；（）若直线与直
6、线的斜率之积为，证明：为定值，并求出这个定值.21.已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有两个零点，（，），证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线：.（1）若直线与曲线相交于点，点，证明：为定值；（2）将曲线上的任意点作伸缩变换后，得到曲线上的点，求曲线的内接矩形周长的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.2017届衡阳市
7、高三第二次联考数学（理）答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:BCCAA 11、12：AC二、填空题13.4 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）由正弦定理及二倍角公式，得，或当时，直角，易知. 当时，等腰，.（2）依题可知：，.依题：.由余弦定理，周长.当时，等号成立.18.解：（1）由题意得列联表为：由列联表可得： ，所以，有95%的把握认为经常使用手机对学习有影响.（2）依题：解决此题的人数可能取值为0,1,2，可得分布列为，二人适合结为“师徒”.19.解：（1）依题：面，又，平面，又平面，平面平面（2），由（1）知面，取中点，平面平面，平面，以过点且平行于的直线为轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面的一法向量为，设平面的法向量为.，.，取，.，故所求二面角的余弦值为.20.解：（1）依题意：（2）（）设直线的斜率为，设直线的斜率为，设切线为：，.（）由条件得：，.21.解：（1）欲证证，在上递增，（2），取.，.，在上递减，故，令，易知在递减，要合题意，如图，右大于左，原题得证22.解：（1）曲线：.，.（2）伸缩变换后得：.其参数方程为：.不妨设点在第一象限，由对称性知：周长为，（时取等号）周长最大为8.23.解：（1）不等式或得（2），此题可转化为由均值不等式，得
