1、三简单曲线的极坐标方程考纲定位重难突破1.了解极坐标方程的意义.2.掌握几种常见的圆及直线的极坐标方程.3.掌握求曲线极坐标方程的方法，能够根据极坐标方程，解决有关的数学问题.重点：理解直线和圆的极坐标方程的推导和应用. 难点：能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.授课提示：对应学生用书第9页自主梳理1曲线的极坐标方程曲线C的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程2圆的极坐标方程(1)圆心在C(a,0)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程为2acos_.(2
2、)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r.(3)圆心在点处且过极点的圆的方程为2asin_(0)3直线的极坐标方程(1)若直线经过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程为：sin()0sin(0)(2)当直线l过极点，即00时，l的方程为：.(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为：cos_a.(4)当直线l过点M且平行于极轴时，l的方程为：sin_b.双基自测1在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是()A.B.C. D.解析：由题知相当于极轴绕极点顺时针旋转，则点关于极轴所在直线对称的点相当于极轴绕极点逆时针旋转，极径都是3，故选B.答案：
3、B2圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为()A1 Bcos C2cos D2sin 解析：经过极点O且半径为a的圆的极坐标方程为2acos ，因圆心在(1,0)，所以半径为1，所以极坐标方程为2cos ，故选C.答案：C3过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为()A B，0C，0 D和，0解析：直角坐标系中倾斜角为的直线对应极坐标系中和，0两条射线，故选D.答案：D4极坐标方程2cos 表示的曲线所围成的面积为_解析：由2cos 21cos 知，曲线表示圆，且圆的半径r为1，所以面积Sr2.答案：授课提示：对应学生用书第9页探究一圆的极坐标方程例1求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程
4、，并把它化为直角坐标方程解析如图，设M(，)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有|OB|4，|OM|，MOB，BMO，从而BOM为直角三角形，所以有|OM|OB|cosMOB，即4cos4sin .因为点O(0,0)，B也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为4sin .化为直角坐标方程为x2y24y0.1在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出与的函数关系，即为要求的极坐标方程2几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即00时，方程为r2220cos，若再有0r，则其方程为20cos 2rcos ，若0r，00，则方程为2rc
5、os(0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置1在极坐标系中，求：(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；(2)圆心为C(2，)，半径为2的圆的极坐标方程解析：(1)设所求圆上任意一点M(，)，结合图(1)，得|OM|2，2,02.(2)设所求圆上任意一点M(，)，结合图(2)，在RtOAM中，OMA，AOM，|OA|4.cosAOM，|OM|OA|cosAOM，即4cos()，故4cos 为所求探究二直线的极坐标方程例2求下列直线的极坐标方程(1)过点A且平行于极轴的直线l；(2)过点A且倾斜角为的直线l.解析(1)如图所示，在直线l上取不同于点A的任意一点M(，)，A，|MH|2s
6、in，在RtOMH中，|MH|OM|sin ，即sin ，经检验点A的坐标(2，)适合上述方程，过A且平行于极轴的直线l的极坐标方程为sin .(2)如图所示，在直线l上取不同于点A的任意一点M(，)，A(3，)，|OA|3，AOB，由已知MBx，OAB，OAM.又OMAMBx，在MOA中，根据正弦定理得，又sinsin，将sin()展开，化简上面的方程，可得(sin cos ).经检验点A的坐标适合上述方程，过A且倾斜角为的直线l的极坐标方程为(sin cos ).求直线的极坐标方程常用的三角形法三角形法的解题步骤：首先根据题意作出图形，构造一个三角形，其中包括动点以及已知点，再利用三角形及
7、三角函数的有关知识列出等式，然后将等式坐标化，即用已知条件及动点的坐标(，)表达出来，化简、整理即可得到直线的极坐标方程2.如图所示，求过点P(1，1)，且与极轴所成的角为的直线l的极坐标方程解析：如图，设点M(，)为直线上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|，xOM，由点P的极坐标知|OP|1，xOP1.设直线l与极轴交于点A，则在MOP中，OMP，OPM(1)，由正弦定理得，即sin()1sin(1)，显然点P的坐标也是它的解所以直线l的极坐标方程为sin()1sin(1)探究三直角坐标方程与极坐标方程的互化例3把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x2(y2)24；(2)9(
8、sin cos )；(3)2cos 3sin 5.解析(1)x2(y2)24，x2y24y，代入xcos ，ysin 得24sin 0，即4sin .(2)9(sin cos )，29(sin cos )，x2y29x9y，即22.(3)2cos 3sin 5，2x3y5.极坐标与直角坐标互化技巧(1)求极坐标或极坐标方程的问题，可以进行直角坐标与极坐标的互相转化进行解决(2)将ysin ，xcos 代入曲线的直角坐标方程，即得曲线的极坐标方程，值得注意的是，极坐标方程与直角坐标方程互相转化的前提是极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且两种坐标系的单位长度相同3转化下列曲线的
9、极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状(1)cos 2；(2)2cos ；(3)2cos 22；(4) .解析：(1)cos 2，x2，曲线是过点(2,0)，垂直于x轴的直线(2)2cos ，22cos ，x2y22x0，即(x1)2y21，故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆(3)2cos 22，2(cos2sin2)2，即2cos22sin22，x2y22，故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线(4)，1cos ， 1x，两边平方并整理得y22，故曲线是顶点为，焦点为F(0,0)，准线方程为x1的抛物线利用曲线的极坐标方程及极坐标的几何意义求弦长问题典例(2015高考全国卷)在
10、直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解析(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.感悟提高(1)本题第(2)小题求解的关键是求出直线与圆22cos 4sin 40的弦长|MN|，此时M，N，|MN|12|.
11、(2)一般情况下，直线l与曲线C相交于M，N两点时，先求出直线l和曲线C的极坐标方程，再联立方程组消去得关于的一元二次方程，然后利用极径的几何意义求出弦长|MN|12|.随堂训练对应学生用书第11页1极坐标方程4表示的曲线是()A过(4,0)点，且垂直于极轴的直线B过(2,0)点，且垂直于极轴的直线C以(4,0)为圆心，半径为4的圆D以极点为圆心，半径为4的圆解析：由极坐标方程的定义可知，选D.答案：D2极坐标方程2sin (R)表示的图形是()A两条直线B两条平行直线C一条直线 D两条相交直线解析：由2sin (R)得sin ，(R)或(R)，故选D.答案：D3已知直线的极坐标方程为sin，则极点到该直线的距离是_解析：直线的极坐标方程可化为xy10，故极点到该直线的距离为.答案：4曲线x2y22的极坐标方程是_解析：x2y22，0，x2y22可化为22，即(2)0.答案：(2)0
