1、宿州市十三所重点中学20192020学年度第一学期期中质量检测高二数学（文科）试卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.点到直线的距离等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据点到直线距离公式，直
2、接计算，即可得出结果.【详解】点到直线的距离为.故选：C【点睛】本题主要考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型.2. 下列说法正确的是（ ）A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A错误不共线的三个点才可以确定一个平面；B错误四边形不一定是平面图形如：三棱锥的四个顶点构成的四边形；C正确梯形有一组对边平行，两条平行线确定一平面；D错误两个平面有公共点，这些点共线，是两个平面的交线；故选C3.“”是“两直线和互相垂直”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分
3、也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由，求两直线的斜率，再由两直线垂直求的取值，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】当时，两直线和的斜率分别为：和，所以两直线垂直；若两直线和互相垂直，则，解得：；因此“”是“两直线和互相垂直”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定方法即可，属于基础题型.4.已知圆与圆关于轴对称，则圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由已知圆的方程，得到已知圆的圆心坐标与半径，再由已知圆与所求圆的对称关系，得到所求圆的圆心与半径，即可得出结果.【详
4、解】因为圆圆心坐标为，半径为，又圆与圆关于轴对称,所以圆的圆心坐标为，半径为；因此圆的方程为：.故选：B【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记即圆与圆位置关系即可，属于基础题型.5.若直线平面，直线，则与位置关系是（ ）A. B. 与异面C. 与相交D. 与没有公共点【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质，得到平面内的直线与平行或异面，进而可得出结果.【详解】因为直线平面，则平面内的直线与平行或异面，又直线，所以与平行或异面，即没有公共点.故选：D【点睛】本题主要考查线线位置关系的判定，熟记线线、线面位置关系即可，属于基础题型.6.圆截直线所得的弦长等于（ ）A. B. C. D.
5、【答案】D【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，与半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长等于，即可得出结果.【详解】因为可化为，所以圆的圆心为，半径为，因为点到直线的距离为，所以，圆截直线所得的弦长.故选：D【点睛】本题主要考查求圆的弦长，熟记几何法求解即可，属于常考题型.7.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意，故原图面积为.8.若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由方程表示圆，得到；再由过
6、点有两条直线与圆相切，得到点在圆外，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为表示圆的方程，所以，即；又过点有两条直线与圆相切，所以点在圆外，因此，即；综上，.故选：C【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，熟记过圆外一点的圆的切线条数的判定方法，以及圆的一般方程即可，属于常考题型.9.已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】如图，作CEAB，CD，连接ED，由条件可知，CED=，CD=3，CE=4故选D10.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
7、】A【解析】分析】先由圆得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，确定直线与圆位置关系，求出圆上的点到直线的距离的范围，再由直线方程求出，两点坐标，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】因为圆的圆心为，半径为，由点到直线距离公式可得：点到直线的距离为，所以直线与圆相离；又点在圆上，所以点到直线距离范围是：，即；又直线分别与轴，轴交于，两点，所以，因此， 所以，即，故选：A【点睛】本题主要考查三角形面积的取值范围，熟记直线与圆位置关系，会求圆上的点到直线距离的范围即可，属于常考题型.11.如图，直三棱柱的体积为，点分别在侧棱和上，则四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.
8、【答案】B【解析】试题分析：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长和侧棱长均为，则认为分别为侧棱和上的中点，则（其中为边上的高），所以故选B考点：柱、锥、台体的体积【思路点睛】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长和侧棱长均为，分别为侧棱和上的中点，求出底面面积和高，即可求出四棱锥的体积本题考查柱、锥、台体的体积，考查计算能力，特殊化法，在解题中有独到效果，本题还可以让或在特殊点，四棱锥变为三棱锥解答更好12.若圆：上的任意一点关于直线：对称的点仍在圆上，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先由题意，得到圆关于直线对称，即直线过圆的圆心；根据圆的方
9、程，得到圆心坐标与半径，得到，从而推出表示圆上的点到直线距离的平方；求出圆心到直线的距离，进而可求出结果.【详解】因为圆上的任意一点关于直线：对称的点仍在圆上，所以圆关于直线对称，即直线过圆的圆心；又圆可化为，其圆心为，半径为；所以有，即，因此可表示直线上的点，又是圆：上的点，所以表示圆上的点到直线距离的平方；由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离为，因此直线与圆相离，所以圆上的点到直线距离的最小值为，所以的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的综合，熟记直线与圆位置关系，会求圆上的点到直线的距离即可，属于常考题型.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13
10、.以点为圆心，并且与轴相切的圆的方程是_.【答案】【解析】【分析】先由题意，得到所求圆的半径，再由圆的标准方程，即可得出结果.【详解】因为所求圆以点为圆心，并且与轴相切，所以所求圆半径为，因此，所求圆的方程为：.故答案为：【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记圆的标准方程即可，属于基础题型.14.两圆与外切，则的值是_.【答案】【解析】【分析】两圆外切可知圆心距等于两圆半径之和，从而构造出方程求得结果.【详解】圆心距为：两圆外切 本题正确结果：【点睛】本题考查圆与圆的位置关系问题，属于基础题.15.已知命题“使得”是假命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先由题意，得到命题的否定为
11、真命题，即对任意恒成立，进而可求出结果.【详解】因为命题“使得”是假命题，所以其否定“使得”是真命题，即对任意恒成立，所以只需.故答案为：【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，熟记含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题型.16.如果三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥.给出下列结论：正三棱锥所有棱长都相等；正三棱锥至少有一组对棱（如棱与）不垂直；当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；若正三棱锥所有棱长均为，则该棱锥外接球的表面积等于.若正三棱锥的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为，过点的平面分别交侧棱，于，.则周长的
12、最小值等于.以上结论正确的是_（写出所有正确命题的序号）.【答案】【解析】【分析】根据正三棱锥的结构特征，判断；根据正四面体的结构特征判断；取中点为，连接，记顶点在底面上的射影是，记该三棱锥外接球球心为，连接，设外接球半径为，根据正四面体的结构特征，以及题中数据，即可求出外接球半径，得到表面积；沿将正三棱锥展开，作出其侧面展开图，由题意可得，在侧面展开图中，当，共线时，原几何体中的周长最小，且最小为的长，根据题中数据，即可得出结果.【详解】根据正三棱锥的结构特征可知，正三棱锥的侧棱长都相等，底边长都相等，故错；因为正三棱锥的顶点在底面上的射影是的中心，底面是正三角形，所以，对棱（如棱与）一定垂
13、直；故错；当正三棱锥所有棱长都相等时，正三棱锥是正四面体，根据正四面体的特征可知，其内部任意一点到它的四个面的距离之和都等于此正四面体的高，为定值；故正确；若正三棱锥的所有棱长均为，取中点为，连接，记顶点在底面上的射影是，则为的中心，所以过点，且，因为，所以，因此，所以，记该三棱锥外接球球心为，因为平面，因此在上，连接，设外接球半径为，则，即，解得：，所以其外接球的表面积为：，故正确；沿将正三棱锥展开，作出其侧面展开图，由题意可得，在侧面展开图中，当，共线时，原几何体中的周长最小，且最小为的长，因为正三棱锥侧棱长均为2，一个侧面的顶角为，所以，因此，故错； 故答案为：【点睛】本题主要考查正棱锥
14、相关结论的判定，以及正棱锥外接球相关计算，熟记正棱锥的结构特征即可，属于常考题型.三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18-22小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域【答案】，定义域为【解析】【分析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域【详解】如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在正四
15、棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为x的正方形，F是BC的中点，EFBC，EF5，则四棱锥的高EO，其中0x10，四棱锥的体积V，定义域为（0，10）.【点睛】本题考查了函数模型的应用，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中自变量的取值范围，属于中档题18.已知直线经过点.（1）点到直线的距离为2，求直线的方程.（2）直线在坐标轴上截距相等，求直线的方程.【答案】(1) ，. (2) 或.【解析】【分析】（1）先讨论直线斜率不存在的情况，直接得出直线方程；再讨论直线斜率存在的情况，设出直线方程，根据点到直线距离公式，即可求出结果；（2）先由题意，得到直线斜率一定存在且，分别求出直线在两坐
16、标轴的截距，建立等量关系，求出斜率，进而即可求出结果.【详解】（1）当直线斜率不存在时，即符合要求，当直线斜率存在时，设直线的方程为，整理得，点到的距离，解得，得，即直线的方程为，.（2）由题知，直线斜率一定存在且，直线，当时，当时，解得或.即直线的方程为或.【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的点斜式方程，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.19.如图，在多面体中，为等边三角形，点为边的中点.（1）求证：平面.（2）在上找一点使得平面平面，并证明.【答案】(1) 证明见解析(2) 点为的中点.证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（
17、2）先由题意，确定点为的中点；再给出证明：连接，根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）取中点，连接，是平行四边形，平面，平面，平面.（2）点为的中点.证：连接，因为、分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以平面.又因为，所以平面平面.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.20.已知点，直线及圆.（1）求过点的圆的切线方程.（2）若直线与圆相切，求的值.（3）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.【答案】(1) 或； (2)
18、 或；(3)【解析】【分析】（1）先由圆的方程得到圆心为，半径，分直线斜率不存在，与斜率存在两情况讨论，由直线与圆相切，得到圆心到直线距离相等，进而可求出结果；（2）根据直线与圆相切，得到，求解，即可得出结果；（3）先由点到直线距离公式，得到圆心到直线的距离为，根据弦长的一半与半径、圆心到直线的距离三者之间的关系，列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为圆的圆心为，半径，当直线的斜率不存在时，过点的切线方程为.当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，由题意得，解得，所以方程为，即；因此，过点的圆的切线方程为或；（2）因为直线与圆相切，所以，
19、由题意可得：，解得或；（3）由点到直线距离公式可得：圆心到直线的距离为，又直线与圆相交于、两点，且弦的长为，所以，解得.【点睛】本题主要考查求圆的切线方程，以及由直线与圆相切求参数，根据圆的弦长求参数，熟记直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，以及弦长的求法即可，属于常考题型21.如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，点在圆所在平面内，且是圆的切线，交圆于点，连接，.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由题意可知，从而可得平面，从而由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明；（2）由条件计算和，然后利用即可得到结
20、果.【详解】解：（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以.又在圆锥中，垂直底面圆，所以，而，所以平面，从而.在三角形中，所以，又所以平面.（2）因为，所以在直角中，.又，则是等腰三角形，所以，.又，所以设点到平面的距离为，由，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理的应用，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.22.已知圆：，圆与圆关于直线：对称.（1）求圆的方程；（2）过直线上的点分别作斜率为，4的两条直线，求使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等时点的坐标.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）设，先由圆与圆关于直线对称，求出，进而可求出结果；（2）先设，得到的方程为，的方程为，根据弦长相等，结合点到直线距离公式，得到，求解，再根据直线与圆的位置关系，即可得出结果.【详解】（1）设，因为圆与圆关于直线：对称，则直线与直线垂直，中点在直线上，得，解得，所以圆：.（2）设，的方程为，即；的方程为，即.因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，所以到的距离与到的距离相等，即，所以或.由题意，到直线的距离，所以不满足题意，舍去，故，点坐标为.【点睛】本题主要考查求圆关于直线对称的圆的方程，以及由直线被圆截得弦长相等求参数，熟记直线与圆的位置关系，圆与圆位置关系，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.
