1、 2020 版3 年高考 2 年模拟（二轮）专有资源 1/6 第 2 讲 平面向量 一、选择题 1.(2019 河南新乡二模)已知 a=(1,2),b=(m,m+3),c=(m-2,-1),若 ab,则 bc=()A.-7 B.-3 C.3 D.7 答案 B 若 ab,则 1(m+3)-2m=0,m=3,bc=m(m-2)-(m+3)=-3.故选 B.2.(2019 安徽江淮十校 5 月联考)已知向量 a,b 满足|b|=2|a|=1,a(a-b),则|2a+b|=()A.3 B.3 C.6 D.6 答案 B 由 a(a-b)且|b|=2|a|=1,得 a(a-b)=a2-ab=14-ab=0
2、,所以ab=14,|2a+b|=42+4+2=4 (12)2+4 14+12=3.故选 B.3.已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角的余弦值为()A.31010 B.-31010 C.22 D.-22 答案 C 因为向量a=(1,1),2a+b=(4,2),所以b=(2,0),则向量a,b的夹角的余弦值为12+1022=22.4.(2019 广东六校第一次联考)在ABC 中,D 为 AB 的中点,点 E 满足=4,则=()A.56 -43 B.43 -56 C.56 +43 D.43 +56 答案 A 因为 D 为 AB 的中点,点 E 满足=4,所以=12
3、,=43 ,所以=+=43 +12 =43(+)-12 =56 -43 ,故选 A.5.如图,在圆 C 中,点 A,B 在圆上,则 的值()A.只与圆 C 的半径有半 B.既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 C.只与弦 AB 的长度有关 2020 版3 年高考 2 年模拟（二轮）专有资源 2/6 D.是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值 答案 C 如图,过圆心 C 作 CDAB,垂足为 D,则 =|cosCAB=12|2.所以 的值只与弦 AB 的长度有关.6.已知在平面直角坐标系 xOy 中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3 三点共线且向量3 与向
4、量 a=(1,-1)共线,若3=1+(1-)2,则=()A.-3 B.3 C.1 D.-1 答案 D 设3=(x,y),则由题意知 x+y=0,于是 3=(x,-x).已知3=1+(1-)2,则有(x,-x)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2),即4-1=,3-2=-,所以 4-1+3-2=0,解得=-1.7.已知=(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),则向量 在 方向上的投影为()A.-322 B.-35 C.322 D.35 答案 C 因为点 C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量 在 方向上的投影为|cos=|=1552=322
5、.8.(2019 湖南湘潭模拟)在ABC 中,|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点,则 =()A.89 B.109 C.259 D.269 答案 B 由|+|=|-|知 ,以 A 为坐标原点,的方向分别为 x 轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),C(0,1),不妨设 E(43,13),F(23,23),则 =(43,13)(23,23)=89+29=109.9.(2019 广东揭阳模拟)已知 O 是ABC 内一点,+=0,=2 且BAC=60,则OBC 的面积为()2020 版3 年高考 2 年模拟（二轮）专有资源 3/6 A.33
6、B.3 C.32 D.23 答案 A +=0,O 是ABC 的重心,于是 SOBC=13SABC.=2,|cosBAC=2,BAC=60,|=4.SABC=12|sinBAC=3,OBC 的面积为33,故选 A.10.(多选)已知等边三角形 ABC 内接于O,D 为线段 OA 的中点,则=()A.23 +16 B.43 -16 C.+13 D.23 +13 答案 AC 如图所示,设 BC 的中点为 E,则=+=+13 =+13(+)=-13 +1312 =23 +16 .故选 AC.二、填空题 11.已知点 A(-1,2),B(2,8),=13 ,=-13 ,则 的坐标为 .答案(-2,-4)
7、解析 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).因为=13 ,=-13 ,所以有1+1=1,1-2=2和-1-2=1,2-2=2.2020 版3 年高考 2 年模拟（二轮）专有资源 4/6 解得1=0,1=4 和2=-2,2=0.所以点 C,D 的坐标分别为(0,4),(-2,0),从而=(-2,-4).12.(2019 山东师大附中二模改编)已知向量 a,b,其中|a|=3,|b|=2,且(a-b)a,则向量 a 和 b 的夹角是 ,a(a+b)=.答案 6 6 解析 由题意,设向量
8、 a,b 的夹角为.因为|a|=3,|b|=2,且(a-b)a,所以(a-b)a=|a|2-ab=|a|2-|a|b|cos=3-23cos=0,解得 cos=32.又因为 0,所以=6.则a(a+b)=|a|2+|a|b|cos=3+2332=6.13.如图,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若=+,则+=.答案 53 解析 =+,=+=+12 ,=-,所以=+=(+12 )+(-)=(-)+(2+),所以-=1,2+=1,解得=43,=13.所以+=53.14.在如图所示的平面图形中,已知 OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2,则 的值为 .答案-6 解析 解法一:连
9、接 OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-),2020 版3 年高考 2 年模拟（二轮）专有资源 5/6 =3(-)=3(-|2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.解法二:在ABC 中,不妨设A=90,取特殊情况 ONAC,以 A 为坐标原点,AB,AC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O(2,32),C(0,332),M(52,0),B(152,0).故 =(-152,332)(12,-32)=-154-94=-6.命题拓展预测 1.在ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,P 为线段
10、EF 上的任一点,实数 x,y 满足+x+y=0.设ABC,PBC,PCA,PAB 的面积分别为 S,S1,S2,S3,记=i(i=1,2,3),则 23取到最大值时,2x+y 的值为()A.-1 B.1 C.-32 D.32 答案 D 由题意,可得 EF 是ABC 的中位线,P 到 BC 的距离等于ABC 中 BC 边上的高的一半,可得 S1=12S=S2+S3,2+3=12,由此可得 23(2+32)2=116,当且仅当 S2=S3,即 P 为 EF 的中点时,等号成立,此时+=0.由向量加法的平行四边形法则可得,+=2,+=2,两式相加,得 2+=0.+x+y=0,根据平面向量基本定理,
11、得 x=y=12,从而得到 2x+y=32.综上所述,当 23 取到最大值时,2x+y 的值为32.2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(3,1)在以原点 O 为圆心的圆上.已知圆 O 与 y 轴正半轴的交点为 P,延长 AP 到点 B,使得AOB=90,则 =,|+|=.2020 版3 年高考 2 年模拟（二轮）专有资源 6/6 答案 2 23 解析 由题可得圆 O 的半径 r=3+1=2,所以 P(0,2),则 AP 所在直线方程为 y-2=2-10-3(x-0),即y=-33 x+2.设 B(,-33 x+2),则=(3,1),=(,-33 x+2).由AOB=90可得 =0,所以3x-33 x+2=233 x+2=0,解得 x=-3,所以 B(-3,3),所以=(3,-1),所以 =33+1(-1)=2,|+|=|(23,0)|=23.
