1、9.3 平行关系核心考点精准研析考点一直线、平面平行的基本问题1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是()A.OQ平面PCDB.PC平面BDQC.AQ平面PCDD.CD平面PAB2.已知a,b表示直线,表示平面,则下列推理正确的是()A.=a,babB.=a,abb且bC.a,b,a,bD.,=a,=bab3.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QOPC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确
2、,又四边形ABCD为平行四边形,所以ABCD,故CD平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,=a,b,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,=a,ab,则可能b且b,也可能b在平面或内,故B不正确;选项C中,a,b,a,b,根据面面平行的判定定理,再加上条件ab=A,才能得出,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.因为平面ABFE平面CDHG,又平面EFGH平面ABFE=EF,平面EFGH平面CDHG=HG,所以EFHG.同理EHFG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的
3、条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ平面PCD =P,所以AQ平面PCD是错误的.考点二直线、平面平行的判定与性质【典例】1.在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,
4、点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C平面DEF.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由直线SB平面DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形DEFH的形状,进而得到其面积.2求证A1C平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A1C平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在BA1C中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.易知SGAC,BGAC,SGBG=G,故AC平面SGB,所以ACSB.因为SB平面DEFH,SB平面SAB,平面SAB平面DEFH=HD,则SBHD.同理SBFE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,S
5、C的中点,从而得HFACDE,且HF=AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又ACSB,SBHD,DEAC,所以DEHD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HFHD=.答案:2.如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1CDK,又A1C平面DEF,DK平面DEF,所以A1C平面DEF.1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该
6、直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性质(,aa;,a,aa).1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度为.【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.又E为AD中点,EF平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EFAC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.答案:2.如图所示,已知四
7、棱锥P-ABCD,BCAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.证明:CE平面PAB.【证明】设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EFAD,且EF=AD.又因为BCAD,BC=AD,所以EFBC,且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,所以CE平面PAB.【一题多解微课】解决本题还可以采用以下方法:扫码听名师讲解方法一:分别延长AB,DC交于点F,连接PF,BC=AD,则FC=CD,又ED=EP,则ECPF,因为EC平面PAB,PF平面PAB,所以EC平面PAB.方法二:取AD的中点M,连接EM,
8、CM,EMPA,EM平面PAB,PA平面PAB,EM平面PAB,又BCAD=AM,四边形ABCM为平行四边形,则CMAB.CM平面PAB,AB平面PAB.CM平面PAB,EMCM=M,则平面ECM平面PAB,因为CE平面ECM,所以CE平面PAB.考点三面面平行的判定与性质及平行的综合问题命题精解读1.考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.2.怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.3.新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.学霸好方法1.证明面面平行的方法(1)面面
9、平行的定义.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.面面平行的判定与性质【典例】1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是A1B1C1的中位线,所以GHB1C1.又因为B1C1BC,所以GHBC,所
10、以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EFBC.因为EF平面BCHG,BC平面BCHG,所以EF平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1AB且A1B1=AB,所以A1GEB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1EGB.又因为A1E平面BCHG,GB平面BCHG,所以A1E平面BCHG.又因为A1EEF=E,A1E,EF平面EFA1,所以平面EFA1平面BCHG.2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1A1A=C1A1A,AA1=AC,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.在平面ABC内过点A作AM平面PQB1交BC于点M,
11、写出作图步骤,但不要求证明.世纪金榜导学号【解析】如图,在平面ABB1A1内,过点A作ANB1P交BB1于点N,连接BQ,在BB1Q中,作NHB1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则AM为所求作的直线.平行关系的综合应用【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点.世纪金榜导学号(1)求证:MN平面A1CD.(2)过N,C,D三点的平面把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.【解析】(1)取AD的中点P,A1D的中点E,连接NE、EC.又因为N是AA1的中点,所以NE&#
12、1051712;APMC,所以四边形NECM为平行四边形,所以MNEC,又因为EC平面A1CD,MN平面A1CD,所以MN平面A1CD.(2)取BB1的中点Q,连接NQ、CQ、ND,因为点N是AA1的中点,所以NQAB.因为ABCD,所以NQCD,所以过N,C,D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1.所以=QBBC=11=.所以直三棱柱QBC-NAD的体积V1=AB=.因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=112=2.所以直四棱柱B1QCC1
13、-A1NDD1的体积V2=V-V1=,所以=.所以所截成的两部分几何体的体积的比值为.1.如图,平面平面平面,两条直线a,b分别与平面,相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为 cm.【解析】因为平面平面平面,两条直线a,b分别与平面,相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交于M,交于N.连接AD,BM,CN,ME,NF,所以ADBMCN,MENF,所以=,因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以=,解得BC= cm,所以AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面
14、外一点,点M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN平面PAD.(2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ平面PAD.【解析】(1)如图,取PD的中点H,连接AH,NH,由点N是PC的中点,知NHDC,NH=DC.由点M是AB的中点,知AMDC,AM=DC,所以NHAM,NH=AM,即四边形AMNH是平行四边形.所以MNAH.又因为MN平面PAD,AH平面PAD,所以MN平面PAD.(2)若平面MNQ平面PAD,则应有MQPA,因为点M是AB中点,所以点Q是PB的中点.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是菱形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,点G和H分别是CE和CF的中点.求证:平面BDGH平面AEF.【证明】在CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,所以GHEF,又因为GH平面AEF,EF平面AEF,所以GH平面AEF.连接AC,设ACBD=O,连接OH,在ACF中,因为OA=OC,CH=HF,所以OHAF,又因为OH平面AEF,AF平面AEF,所以OH平面AEF.又因为OHGH=H,OH,GH平面BDGH,所以平面BDGH平面AEF.
