1、安徽省宿州市十三所省重点中学 2019-2020 学年高一数学上学期期末联考试题（含解析）第卷（60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.sin 480的值是（）A.12 B.12 C.32 D.32【答案】C【解析】【分析】结合诱导公式化简即可【详解】3sin 480sin 360120sin1202 故选：C【点睛】本题考查三角函数值的化简，属于基础题 2.已知函数 cosf xx，则下列正确的是（）A.f x 是周期为 1 的奇函数 B.f x 是周期为 2 的偶函数 C.f x 是周期为 1 的非奇非
2、偶函数 D.f x 是周期为 2 的非奇非偶函数【答案】B【解析】【分析】结合奇偶性和周期公式即可求解【详解】cosf xx为偶函数，周期为：22T 故选：B【点睛】本题考查三角函数奇偶性的识别，周期的求解，属于基础题 3.已知 AM 是 ABC 的 BC 边上的中线，若 ABa，ACb，则 AM 等于（）A.12 ab B.12 ab C.12 ab D.12 ab【答案】C【解析】【分析】结合向量加法与平行四边形法则即可求解【详解】由向量的加法法则作出 ABAC的和向量 AD，因为 M 是 BC 中点，则1122AMADABAC，故12AMab 故选：C【点睛】本题考查向量的加法运算和平行
3、四边形法则，属于基础题 4.已知 tan3，则 sincos2sincos的值为（）A.210 B.10210 C.210 D.10210【答案】C【解析】分析】由 tan3 结合同角三角函数求出sin,cos 的值，再分类讨论求解即可【详解】由 tan3 可判断 在第一象限或第三象限，若 在第一象限，则3 1010sin,cos1010，2 102sincos25210sincos105；若 在第三象限，则3 1010sin,cos1010，2 102sincos25210sincos105，综上所述，0sincos2sinco2s1 故选：C【点睛】本题考查同角三角函数的求法，分类讨论思想
4、，属于基础题 5.要得到函数4ysinx（3）的图象，只需要将函数4ysin x的图象（）A.向左平移12 个单位 B.向右平移12 个单位 C.向左平移 3 个单位 D.向右平移 3 个单位【答案】B【解析】因为函数sin 4sin4()312yxx，要得到函数43ysinx的图象，只需要将函数4ysin x的图象向右平移12 个单位 本题选择 B 选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同 6.函数 log201af xxa的图象必不过（）A.第一象限 B.第二象
5、限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】结合对数函数增减性和函数平移法则即可求解【详 解】由 01a可 判 断 log2af xx为 减 函 数，再 根 据 函 数 平 移 法 则，log2af xx应由 logaf xx向左平移两个单位，如图，故 log201af xxa的图象必不过第一象限 故选：A【点睛】本题考查对数函数增减性的识别，函数图像平移法则，属于基础题 7.在单位圆中，面积为 1 的扇形的圆心角为（）A.1 弧度 B.2 弧度 C.3 弧度 D.4 弧度【答案】B【解析】【分析】单位圆即圆的半径=1R，设圆心角的弧度数为，则扇形的弧长lR，面积12SlR.【详解
6、】由已知得，1=112SlRR，所以扇形的弧长2l，又因为弧长lR，所以扇形的圆心角是 2 弧度选 B【点睛】本题考查扇形的面积公式和计算能力，属于基础题.8.已知cossin1，则角终边在（）A.第二象限 B.第三象限 C.第二象限或第四象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】可采取同时平方的方式，判断 在第二象限或第四象限，再结合cossin1，结合符号法则进行判断即可【详解】由cossin11 2sincos1 ，sincos0，故 在第二象限或第四象限，当 在第二象限时，cos0,sin0，cossin0，不符合题意，舍去；当 在第四象限时，cos0,sin0，cossin0，符合
7、题意；综上所述，角 的终边在第四象限 故答案为：D【点睛】本题考查由三角函数的正负值判断具体角所在象限，属于基础题 9.已知向量(2,0),(3,1)aab ，则下列结论正确的是（）A.2a b B./ab C.|ab D.()bab【答案】D【解析】因 为(2,0),(3,1)aab，所 以(2,0)(3,1)b ，即(1,1)b r，则2,2,2abab，即2,/,a ba b ab 都不正确，即答案 A，B，C 都不正确而(1,1)ab，则()0bab，应选答案 D 10.集合sinlgcos1Axxx是（）A.B.单元素集 C.二元素集 D.无限集【答案】A【解析】【分析】可先作变形，
8、得logcos1 sinxx，令logcosyx和1 sinyx 【详解】在集合 A 中，由 sinlgcos1lgcos1 sinxxxx ，令 log cosfxx和 1 sinh xx，其中cos02,2,22xxkkkZ，根据复合函数增减性，当2,2,2xkkkZ 时，l o g c o sfxx单 增，,0f x ，当2,2,2xkkkZ时，logcosf xx单减，,0f x ，而 1 sinh xx 在2,2,22xkkkZ 时单减，0,2h x，画出符合条件的一个区间的大致图像，如图：显然两函数无交点，故集合sinlgcos1Axxx是 故选：A【点睛】本题考查集合是否为空集的
9、等价转化，复合函数增减性的判断，数形结合思想，属于中档题 11.函数logayx（0a 且1a）按照向量3,2a 平移后的图象过定点 P，且角 的终边过点 P，则sin2cos的值为（）A.75 B.65 C.5 D.355【答案】C【解析】【分析】结合对数函数性质和三角函数平移法则可求得4,2P，再由三角函数定义求出对应sin,cos 计算即可【详解】logayx恒过1,0，按向量3,2a 平移后过定点 4,2P，则22222542 5sin,cos554242，则sin2cos5 故选：C【点睛】本题考查对数型函数过定点类问题，三角函数的基本定义，属于基础题 12.sin，sin 是方程2
10、114412 loglog016xx 的两个实根，则coscos的取值范围是（）A.1 1,2 2 B.1 1,2 2 C.10,2 D.1,02【答案】A【解析】【分析】可通过韦达定理求出1sinsin2，再利用cos,cos的展开式进一步确定范围即可【详解】由题可知，1112441loglog2xx，即11241log2xx，解得1212xx，即1sinsin2，又11 3coscoscossinsincoscos1,1coscos,22 213 1coscoscossinsincoscos1,1coscos,22 2 综上所述，1 1coscos,2 2 故选：A【点睛】本题考查一元二次
11、方程韦达定理的使用，对数的运算性质，两角和与差的余弦公式的使用，转化与化归能力，属于中档题 第卷（90 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知幂函数 yf x的图象过点2,2，则 9f _【答案】3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数 yf x的解析式，再求 9f的值.【详解】设 ayf xx，由于图象过点2,2,得122,2a a，12yf xx，12993f，故答案为 3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14.如图所示为函数sin2yAx，的图像的一部分，它的解析式为
12、_.【答案】33sin224yx【解析】【分析】由两最值点对应横坐标可求周期，由波峰波谷可求,A 将,16 代入可求 【详解】由图可知，522663T，即43T，24332，3 112A，将,163sin22yx得2,42kkZ，即32,4kkZ，又，当0k 时，34 ，故33sin224yx 故答案为：33sin224yx【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式，属于中档题 15.实数 x，y 满足121log sin303yx，则cos24xy的值为_.【答案】54【解析】【分析】由实数满足121log sin303yx可得sin1,1xy ，从而求出结果 详解】实数 x，y 满足12
13、1log sin303yx，且120sin1,log sin0 xx，121log sin0,303yx sin1,1xy ，cos0 x，0cos1421524414xy 故答案为：54【点睛】本题考查函数与方程的关系，属于基础题 16.下面六个句子中，错误的题号是_.周期函数必有最小正周期；若0a b则 a，b 至少有一个为 0；为第三象限角，则cos sin0a；若向量a 与b 的夹角为锐角，则0a b；存在，R，使sinsinsinaa成立；在 ABC 中，O 为 ABC 内一点，且0OAOBOC，则 O 为 ABC 的重心.【答案】【解析】【分析】常函数没有最小正周期；,a b 是非
14、零向量时，0a b代表的是两向量垂直；可采用赋值法，令76 判断正误；由数量积公式即可判断；令0即可判断；结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】常函数没有最小正周期，故判断错误；,a b 是非零向量时，0a bab，判断错误；令76，则1cos sin0cos02a，即1cos02，显然错误；若向量a 与b 的夹角为锐角，则cos0a bab，判断正确；当0，sinsinsinaa，判断正确；若OAOBOCO，如图：设 D 为 AC 中点，则2OAOCODOE，则20ODOB，所以,D O B三点共线，且 2 ODOD，故 O 为 ABC重心，判断正确；故答案为：【点睛】本题主要考查
15、平面向量和三角函数的基础知识，属于基础题 三、解答题（本小题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.化简：22cossin3tan4tancos.【答案】cos【解析】【分析】结合诱导公式化简即可【详解】原式=222cossincostancos 【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式化简，属于基础题 18.已知1,2a r，2,1b ，k 为何值时，（1）kab与 ab垂直？（2）kab与 ab平行？【答案】（1）1（2）-1【解析】【分析】（1）分别表示出kab与 ab，再利用数量积为 0 求解即可；（2）若kab与 ab平行，则等价于22131kk，化简
16、即可；【详解】（1）1,22,12,21kabkkk 3,1ab 当kaabb时 2,213,10kk 36210kk 1k 时kaabb （2）当kab与ab平行时 22131kk 1k 1k 时，kab与ab平行【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，由两向量平行与垂直求参数，属于基础题 19.已知向量2sin,cosaxx，3 cos,2cosbxx，定义函数 1f xa b .（1）求函数 f x 的单调递减区间；（2）画出函数 yf x，75,12 12x 的图像.【答案】（1）2,63kkk Z（2）见解析【解析】【分析】（1）由 1f xa b 结合二倍角公式和辅助角公式可得
17、2sin 26fxx，再采用整体代入法即可求解；（2）由（1）可判断所化部分为一个周期对应函数图像，结合五点代入法画出即可【详解】22 3sincos2cos1f xxxx 3sin 2cos 22sin 26xxx （1）3222226263kxkkkkkZ，函数 f x 的单调递减区间为2,63kkk Z x 712 3 12 6 512 26x 2 0 2 ()f x 0 2 0 2 0 （2）2sin 26fxx，75,12 12x 列表如下：【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，求正弦型函数的单间区间，画出指定区间的三角函数图像，属于基础题 20.已知 yf x的定义域为 R 且满足
18、条件.当0 x 时，0f x；对任意实数 x，y，都有 f xyf xfy.（1）求 0f，并证明 f x 为奇函数；（2）判断并证明 f x 的单调性.【答案】（1）00f，见解析（2）减函数.见解析【解析】【分析】（1）令0,0 xy即可求解 0f；令 yx 可根据奇函数定义求证；令12xx，211,xxx yx，代入 f xyf xfy，结合条件即可求证；【详解】（1）令0,0 xy，代入 f xyf xfy得 020ff，即 00f；令 yx ，则 0f xxf xfx，故 f x 为奇函数；（2）令12xx，211,xxx yx，代入 f xyf xfy得 2112112121fxx
19、xf xxf xf xf xf xx，又中，当0 x 时，0f x，故 21210f xf xf xx，即 21f xf x，函数 f x 为减函数【点睛】本题考查抽象函数具体值的求解，奇偶性与单调性的证明，属于基础题 21.已知锐角 ABC 中，3sin()5AB，1sin()5AB.（1）求证：tan2tanAB；（2）设3AB，求 AB 边上的高.【答案】（1）证明见解析；（2）26.【解析】【分析】（1）将 sin()AB和 sin()AB展开可求得 sincosAB 和 cossinAB 的值,进而可证明tan2tanAB;（2）设 AB 边上的高为CD,可知3tantan2tanC
20、DCDCDABADDBABB,结合sin()AB的值,可求出cos(),tan()ABAB,将 tan()AB展开可求出26tan2B,即可求出CD 的值.【详解】（1）3sin()5AB，1sin()5AB,3sincoscossin51sincoscossin5ABABABAB 解得2sincos51cossin5ABAB.则sincos2cossinABAB,故 tan2tanAB.（2）设 AB 边上的高为CD,则3tantan2tantan2tanCDCDCDCDCDABADDBABBBB,3,sin()25ABAB,43cos(),tan()54ABAB ,则tantan31tan
21、tan4ABAB,tan2tanAB,整理得22tan4tan10tan0BBB,解得26tan2B.则 3326CD,解得26CD.故 AB 边上的高为26.【点睛】本题考查了三角函数求值,考查了两角和与差的正弦与正切公式的运用,考查了学生的推理能力与计算能力,属于中档题.22.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC 的模分别为 1，1，2，OA 与OC 的夹角为，且 tan7，OB 与OC 的夹角为45.若,OCmOAnOB m nR，（1）求5577loglognm的值；（2）若函数 21208fxaxaxa在,m n 上的最大值为 2，求 a 的值.【答案】（1）-1（2）-2【解
22、析】【分析】（1）可 由272c o s,s i n1 01 0t a n7，由 向 量 的 夹 角 公 式 可 得cosOA OCOA OC，化简得2102mnOA OB，同理由向量,OB OC 的夹角公式可得222OB OCmOA OBnOB OC，再结合coscos 45AOB 求得3cos5AOB，联立前式即可求解对应,m n，代入5577loglognm求解即可；（2）由（1）知54m，74n，22112188fxaxaxa xa，0a，函数对称轴为1x，开口向下，故，当5 7,4 4x 时，函数单调递减，故 max54fxf，代入解析式即可求得参数 a 【详解】（1）tan7，0,
23、2，2cos10，7 2sin10，OA 与OC 的夹角为，210OA OCOA OC，OCmOAnOB，1OAOB，2OC，2102mnOA OB，又OB 与OC 的夹角为45，222OB OCmOA OBnOB OC，又3coscos 45coscos45sinsin 455AOB 3cos5OA OBOA OBAOB，将其代入得3155mn，315 mn，从而54m，74n，故555577777loglogloglog15nnmm （2）由（1）得54m，74n，又 22112188fxaxaxa xa，0a，函数对称轴为1x，开口向下，故 f x 在 5 7,4 4上单调递减，所以5224fa 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，向量夹角公式的使用，由二次函数在定区间的最值求解参数，转化与化归思想，属于中档题
