1、第二课时组合的综合应用内容标准学科素养1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题2.能解决有限制条件的组合问题.利用数据分析建立数学建模提升数学运算授课提示：对应学生用书第14页基础认识知识点组合的特点知识梳理1.组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出2组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求3相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合自我检测1某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有(
2、)A26种B84种C35种 D21种答案：C2将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有_种答案：10授课提示：对应学生用书第14页探究一有限制条件的组合问题阅读教材P24例8在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？题型：有限制条件的组合问题方法步骤：对于(1)是无限制条件的组合问题，由组合数公式即可对于(2)是“恰好”有几个的组合问题，分两步完成这件事对于
3、(3)是“至少”“至多”型的组合问题，分类完成这件事或者用间接法例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选解析(1)CC825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有CCCCC966(种)选法(3)分两类：第一类女队长当选，有C495(种)选法，第二类女队长没当选，有CCCCCCC295(种)选法，所以共有495295790(种)选法方法技巧有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条
4、件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏跟踪探究1.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专
5、家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法(2)(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有CCCCCC185种(3)至多有2名外科专家的抽调方法有CCCCC115种探究二几何中的组合问题阅读教材P24例7(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中第2个点为端点的有向线段共有多少条？题型：与几何图形有关的组合问题方法步骤：(1)一条线段就是两个点的一个组合由组合数公式得共有C条线段(2)一条有向线段就是
6、两个点的一个排列由排列数公式得共有A条有向线段例2平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？解析法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C56个不同的三角形由分类加法计数原理知，不同的三角形共有4811256216个法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角
7、形的情况有C4种故这12个点构成三角形的个数为CC216个方法技巧解答几何组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列组合这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起综合性强(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数跟踪探究2.(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱的中点共有1
8、0个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解析：(1)如图所示，在含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中任意取出3个点必与点A共面，共有3C种取法；在含顶点A的3条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的取法有3C333(种)(2)如图所示，从10个点中取4个点的取法有C种，减去4点共面的取法种数就可以得到结果从四面体同一个面上的6个点中取出4点必定共面，有4C60(种)；四面体的每一条棱上的3个点与相对的棱的中点共面，共有6种共面情况；从6条棱的6个中点中取4个点时有3种共面情况(对棱中点连线两两相交且互相平分
9、)故4点不共面的取法有C(6063)141(种)探究三分组、分配问题例36本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)解析(1)每组2本，均分为3组的方法数为15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC20360.(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为15.方法技巧“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！
10、；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配跟踪探究3.6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余两人每人1本解析：(1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有CCC90(种)不同的分配方法；(2)共有CCC60(种)不同的分配方法；(3)共有CCC30(种)不同的分配方法(4)(5
11、)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A即可因此，(4)共有CCCAA90(种)不同的分配方法；(5)共有CCCA360(种)不同的分配方法；(6)共有CCCAA90(种)不同的分配方法探究四排列、组合的综合应用阅读教材P28习题1.2 B组3题从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？解析：分三步：第一步：从1,3,5,7,9中任取3个数字，有C种取法第二步：从2,4,6,8中任取2个数
12、字有C种取法第三步：将取出的5个数字全排列有A种排法共有CCA7 200个没有重复数字的五位数例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？解析分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有CCCCA种第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有CCA种第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有CCA种故满足题意的所有不同的排法种数为CCCCA2CCA432.方法技巧解答排列、组
13、合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪探究4.某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为_解析：先分组再分配第一步分组：有，第二步分配：有A种，共有A36(种)，不同的分配方案种数为36.答案：36授
14、课提示：对应学生用书第16页课后小结(1)无限制条件的组合应用题其解题步骤为：判断；转化；求值；作答(2)有限制条件的组合应用题：“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全 是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决分组、分配问题：分组
15、问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的素养培优1.重复计数出错某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有多少种？易错分析：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人要进行全排列，共有CCA1 260(种)这里是均匀分组问题比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了考查数学建模及数学运算的学科素养自我纠正：共有A630种2因漏解而致错有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有多少种放法？易错分析：遗漏计数问题从4个小球中取出3个(不妨设为1号、2号、3号)放入3个盒中，则把4号小球放入3个盒中的一个时，只有1号和4号；2号和4号；3号和4号三种情况，漏掉了1号和2号；1号和3号；2号和3号的情况考查数学建模及数学运算的学科素养自我纠正：先分组再分配(“1,1,2”)，共有A144(种)，共有144种放法
