1、核心素养测评 六十四随机事件的概率(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【解析】选D.A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.【变式备选】把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与
2、“乙分得红牌”是()A.对立事件B.对立但不互斥事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对【解析】选C.事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不可能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生、一个不发生,可能两个都不发生,所以这两个事件互斥但不对立,应选C.2.已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(AB)=,某人猜测事件发生,则此人猜测正确的概率为()A.1B.C.D.0【解析】选C.因为事件与事件AB是对立事件,所以事件发生的概率为P()=1-P(AB)=1-=,则此人猜测正确的概率为.3.(多选)下列结论错误的是()A.事件A的概率P(A)必满足0P(A)1B.事件A的概率P(A)=0.9
3、99,则事件A是必然事件C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,现有一名胃溃疡病人服用此药,则估计有明显的疗效的可能性为76%D.某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖【解析】选ABD.由概率的基本性质可知,事件A的概率P(A)满足0P(A)1,故A错误;必然事件的概率为1,故B错误;某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,不一定有5张中奖,故D错误.4.已知随机事件A发生的概率是0.02,若事件A出现了10次,那么进行的试验次数约为()A.300B.400 C.500D.600【解析】选C.设共进行了n次试验,则=0.02,解
4、得n=500.5.(2020衡阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.7 B.0.65 C.0.35D.0.3【解析】选C.因为事件A=抽到一等品,且P(A)=0.65,所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.【变式备选】某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为()A.0.95B.0.
5、97C.0.92D.0.08【解析】选C.记抽检的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.二、填空题(每小题5分,共15分)6.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_.【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+
6、=.答案:7.某城市2019年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时,空气质量为优;50T100时,空气质量为良;100T150时,空气质量为轻微污染,则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为_.世纪金榜导学号【解析】由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为P=+=.答案:8.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球的概率为_;至少取得一个红球的概率为_.世纪金榜导学号【解析】由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,
7、取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=+=.记事件A为“至少取得一个红球”,事件B为“取得两个绿球”,事件A与事件B是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.假设有5个条件很类似的女孩,把她们分别记为A,C,J,K,S.她们应聘秘书工作,但只有3个秘书职位,因此5人中仅有三人被录用.如果5个人被录用的机会相等,分别计算下列事件的概率:女孩K得到一个职位;女孩K和S各自得到一个职位;女孩K或S得到一个职位.【解析】5人中有3人被录用,共有:ACJ,ACK,ACS,AJK,AJS,AKS
8、,CJK,CJS,CKS,JKS,10种结果,由古典概型知:女孩K得到一个职位的概率为:P1=;女孩K和S各自得到一个职位的概率为:P2=;女孩K或S得到一个职位的概率为:P3=.10.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组:第1组25,30),第2组30,35),第3组35,40),第4组40,45),第5组45,50,得到的频率分布直方图如图所示.如表是年龄的频数分布表,区间25,30)30,35)35,40)40,45)45,50人数25ab(1)求正整数a,b,N的值.(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,则年龄在
9、第1,2,3组的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求恰有1人在第3组的概率.【解析】(1)由题干中的频率分布直方图及频数分布表可知,a=25,且b=25=100,总人数N=250.(2)因为第1,2,3组共有25+25+100=150(人),利用分层抽样在150人中抽取6人,每组抽取的人数分别为:第1组的人数为6=1(人),第2组的人数为6=1(人),第3组的人数为6=4(人),所以第1,2,3组分别抽取1人、1人、4人.(3)由(2)可设第1组的1人为A,第2组的1人为B,第3组的4人分别为C1,C2,C3,C4,则从6人中抽取2人的所有可能
10、结果为:(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共15种,其中恰有1人在第3组的所有结果为:(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共8种,所以恰有1人在第3组的概率为.(15分钟35分)1.(5分)(2019泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球,若取到红球的概率是,则取到白球的概率等于()A.B.C.D.【
11、解析】选C.因为取到红球与取到白球为对立事件,所以取到白球的概率P=1-=.2.(5分)(2020郴州模拟)甲、乙、丙三人站成一排照相,甲不排在左边的概率是()A. B. C.D.【解析】选A.甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种,其中甲排在左边的站法为2种,所以甲排在左边的概率是=.所以甲不排在左边的概率为.3.(5分)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意,可得即解得a.4.(10分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购
12、买甲、乙、丙、丁四种食品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.世纪金榜导学号甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率.(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品可能性最大?【解析】(1)1 000位顾客中有200位同时购买乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为=.(2)1 000位顾客中有100位同时购买甲丙丁,200位同时购买甲乙丙,所以估计1 000人中同时购买3种商品的概率为=.(3)购买了甲的顾客有100+200+300+85=685位.则顾客同时购买乙
13、概率为,同时购买丙的概率为=,同时购买丁的概率为.因此,顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.5.(10分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:日期123456天气晴雨阴阴阴雨日期789101112天气阴晴晴晴阴晴日期131415161718天气晴晴晴晴阴雨日期192021222324天气阴阴晴阴晴晴日期252627282930天气晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.世纪金榜导学号【解题指南】(1)利用频率估计概率,即得所求.(2)利用
14、前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14个,由频率估计概率得值.【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率是.(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14对,所以晴天的次日不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.【变式备选】某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
15、若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率.(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解题指南】用图表法能有效迅捷地解决“掷骰子”型概率问题.列出图表,基本事件总数,和各类试验结果一目了然.【解析】活动记录与xy的结果如表:123411234224683369124481216显然,基本事件总数为16.(1)xy3情况有5种,所以小亮获得玩具的概率=.(2)xy8情况有6种,所以获得水杯的概率=,所以小亮获得饮料的概率=1-=,即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
