1、课时跟踪检测（二十七） 抛物线的标准方程A级基础巩固1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：选B由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.2(2020北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q.则线段FQ的垂直平分线()A经过点O B经过点PC平行于直线OP D垂直于直线OP解析：选B连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|FP|，则QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.3(多选)设抛物线y22px(p0)的焦点为F.点M在y轴上
2、，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为()A(0，4) B(0，2)C(0，2) D(0，4)解析：选BC根据题意，抛物线y22px的焦点为，准线方程为x.设点B的坐标为(m，n)，因为B为线段FM的中点，则m.又点B到抛物线准线的距离为，则，解得p，则抛物线的方程为y22x，且m.又点B在抛物线上，则n221，解得n1，则B的坐标为.故点M的坐标为(0，2)或(0，2).4已知F是抛物线y24x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|NF|8，则MN的中点到准线的距离为()A5 B4C3 D解析：选BF是抛物线y24x的焦点，F(1，0)，准线方程为x1，
3、设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x11x218，解得x1x26，线段MN中点的横坐标为3，线段MN的中点到准线的距离为314.5已知F为抛物线C：y26x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|3|BF|，则|AB|()A6 B8C10 D12解析：选B抛物线y26x的焦点坐标为，准线方程为x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|3|BF|，x13，x13x23，|y1|3|y2|，x19x2，x1，x2，|AB|8.故选B.6抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为_解析：将方程化为标准形式是x2y，因为2p，所以p.故到焦点的距离最小值为.答
4、案：7已知抛物线C：4xay20恰好经过圆M：(x1)2(y2)21的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_，准线方程为_解析：圆M的圆心为(1，2)，代入4xay20得a1，将抛物线C的方程化为标准方程得y24x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x1.答案：(1，0)x18已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_解析：根据抛物线的定义得15，p8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：9抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5，求抛物线的标准方程解：设所求
5、焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y22ax(a0)，点A(m，3).由抛物线的定义得|AF|5，又(3)22am，a1或a9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.10已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，又|MN|3，35，即p4.抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物
6、线方程为x28y，m2，准线方程为y2.B级综合运用11阿基米德(公元前287年212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)PAB为直角三角形，且PAPB；(3)PFAB.若经过抛物线y24x焦点的一条直线为AB，阿基米德三角形为PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()Ax2y10 B2xy20Cx2y10 D2xy20解析：选A抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，准
7、线方程为：x1，线段AB经过抛物线y24x焦点，由PAB为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上，则点P(1，4)，直线PF的斜率为：2，又PFAB，直线AB的斜率为，直线AB的方程为：y0(x1)，即x2y10，故选A.12(多选)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若PFx60，则()APQF为等边三角形 B|PQ|4CSPQF4 DxP4解析：选ABC如图，PQx轴，QPFPFx60，由抛物线定义知|PQ|PF|，PQF为等边三角形F(1，0)，过F作FMPQ，垂足为M.xM1，|MQ|2.|PQ|4，SPQF244，xP3.故选A
8、、B、C.13对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：14已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|B
9、F|8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程解：设抛物线的方程为y22px(p0)，则其准线为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|BF|8，所以x1x28，即x1x28p.因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|QB|，即，又y2px1，y2px2，所以(x1x2)(x1x2122p)0，因为AB与x轴不垂直，所以x1x2.故x1x2122p8p122p0，即p4.从而抛物线的方程为y28x.C级拓展探究15.如图所示，A地在B地东偏北45方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一
10、点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4).因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线设抛物线方程为x22py(p0)，则p4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x28y.(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|MB|的值最小如图所示，过M作MHl，垂足为H，依题意得|MB|MH|，所以|MA|MB|MA|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|MH|取得最小值，即|MA|MB|取得最小值，此时M.故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
